CHAPITRE VI. — REPRÉSENTATION DES SURFACES

sentant ziz i :

dx dy

\ ày * dx

Ces relations, si e = -1- i, sont précisément celles qui expriment (n® 155) que P + iQ est une fonction de ^-h «.Xî ^^^^ ^ = — ^> elles expriment que P — iQ est fonction de a: -f- iy.

Donc, à toute fonction P + Qt d'une variable imaginaire x-\-yi correspond une transformation plane

qui conserve les angles; et réciproquement, si celte transformation conserve les angles, P-|-Qt(ou P — Q/) est une fonction de X -\-yî'

Le problème des transformations conformes du plan en luimême est donc le même que celui de la détermination de toutes les fonctions d'une variable imaginaire.

Exemple. — La transformation par rajons vecteurs réciproques, le pôle étant Poriginc et la puissance étant A'^, est définie par les relations

On sait, par la Géométrie élémentaire, qu'elle conserve les angles; une des quantités X dz iY doit donc être une fonction de a: 4- iy. On a, en effet,

x^-hy^ x-^yi

Exemples.

467. Sphère. — Si la surface S est une sphère (de rayon i), on a (n^ 416, 2^) :

07 = sinO cos'l', ^=sinOsin«}, ^ = cosO,

48o TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

Pour faire la carte géographique de la sphère sur un plan, d'après la méthode du n° 46i, décomposons rfô^ -f- sin^ 0 ûf'>|^* en deux facteurs :

r/0«4- sin«0 c?i];« = (ûfO -H i sinO e/}) (e/0 — / sinO rf^).

Il faut maintenant trouver un facteur jjl, tel que la quantité

IJL(rfO -h tsinô d^)

soit la différentielle exacte d'une fonction ç(6, i^) : on aperçoit

de suite la solution u=-r-rj car

* sin0

-^ (./O -h /sinO rf^) = d (i^ -^ f-^) • sinô ^' \ ^ J s\nu /

De même

.-L ( ,/o / sinO ^/^^) = ^ ( — /'^ -+- f~A» sinO ^ \ ^ ^ sinO/

et Ton aura une carte géographique en faisant correspondre au point 0, ^ de la sphère le point w', p' du plan tel que

, . , . , r dO

^ ^/ sinO c'est-à-dire, en remplaçant l'intégrale par sa valeur (n® 229),

(9) / J sinO ^ ^2

Dans cette représentation, les méridiens (•} = const.) sont représentés par des parallèles à Taxe des m', et les parallèles (6 = const.) par des parallèles à Taxe des (^'; c'est le système de carte de Mercator.

Application, — Cherchons l'équation des courbes, dites loxodromieSy qui coupent tous les méridiens sous un même angle donné, V. Sur la carte, ces courbes ont pour image les droites