CHAPITRE VI. — REPRKSENTATION DES SURFACES

h étant une constante arbitraire; donc, sur la sphère, leur équation sera, en vertu de (9),

c'est-à-dire

^ cot V — h = log tang -

tang- = e-*e*^fo•^',

tang- = Xe7«^«t^,

\ étant une constante quelconque (n® 417).

468. On peut déduire de ce qui précède, par la méthode des n®* 463 et 466, tous les autres systèmes de cartes conservant les

angles : il suffira de faire correspondre au point 0, i^ de la sphère le point X, Y du plan, défîni par

P ± îQ étant une fonction de w'-f- p'/, et u\ p' étant remplacés par leurs valeurs (9).

Par exemple, prenons

P + iQ = e«'+«''^= e'*'(cosi>'-t- isinp'),

c'est-à-dire

P = e«'cosi''; Q = e«'sinp';

au point (6, ^)de la sphère correspond, si l'on remplace m', r' par

leurs valeurs (9), le point du plan

A = tang- costj;, Y = tang - sini};.

C'est la projection de Ptolémée, ou stéréographique, qui fait correspondre, à un point M de la splière, le point m où la droite qui joint M à l'un des pôles, A, perce le plan de Véc\\xdXeuv{Jig. 1 1 1).

On a, en effet,

mox = 4^, MAO = -j

Om = OA.tancr- = tanc - >

d'où, pour les coordonnées X et Y de m,

X = O /« ces ^ = tang - ces <|/,

Y = Om sin<{/ = tang- sint}^. c. Q. F. D.

469. Surfaces de révolution. — On a trouvé (n® 416) pour le ds^ sur la surface de révolution décrite par la courbe z=f{x)^ du plan des zx^ tournant autour de O :;,

ds^ = rî ûfui» -+- f I 4-/'» ( r )] c?r». Décomposons en facteurs :

Un facteur [jl, tel que ^k(ir dto +\/i -|-y'* rfr) soit une différentielle exacte, est évidemment -; car

1 [iV e/(D -h /n-/'« rfr] = r/ Lw -h r^ /i+/'i(r)l .

On aura donc une carie géographique en faisant correspondre au point (/*, co) de la surface le point u'j v' du plan, défini par