CHAPITRE I. — généralités; différentielles

formule qui donne la dérivée d'une fonction de fonction

du du dx d^ ^ dx'dï'

u étant fonction Ae x ei x fonction de \, Pour le jacobien, on a la formule analogue

à(u, y, iv) d(u, i\ w) d{x, y,z)

en supposant que //, r, iv soient des fonctions de x, y, z et <]ue x, >', z soient eux-mêmes des fonctions de trois autres variables indépendantes ^, r, , ^

Cette formule, en effet, n'est autre, par définition, que celle-ci

dit

Oti

ÔT

dv dz

ày

dr,

ày

div

ôw

àiv

dix*

div

'Jz

Otq

Or on a, d'après la théorie des dérivées,

du dx du dy du dz dx o\ dy <>; Oz dÇ

.1 • 1111 du du dv

et des expressions semblables pour —, —> — ,

dw ç.. |, • M — r- bi 1 on

porte ces valeurs dans le premier des trois déterminants (20), on obtient un déterminant, qui, en vertu d'une règle connue, est le produit du second et du troisième déterminants (20) : la formule (19) est donc vérifiée.

50. Corollaire. — Si z/, r, (v sont des fonctions Anx^y^ z^ on peut inversement considérer ^,y, z comme fonctions de //, r, (v, c'est-à-dire que, pour les variables Ç, r,, JJ du numéro précédent, on peut prendre «, r, (v. Faisons donc, dans la formule (20), \ = u^ Tj = r, !J = (V : le premier membre se réduit au déterminant

et il reste

c'est-à-dire que le jacobicn de w, r, (v par rapport à x, y, z est Tinversc du jacobiea de x^y^ z par rapport à u, t', tv.

51. Seconde propriété. — La condition nécessaire et suffisante pour que n fonctions de n variables indépendantes soient liées par une relation est que leur jacobien, par rapport à ces variablesy soit nul.

Soient par exemple les trois fonctions de trois variables : u=/i(x,y, z)y i;==/2(.r, j, ;;), »r =/A^^r, -);

ie dis que la condition énoncée - — '—^ = o est nécessaire et

suffisante.

1** En effet, si w, r, w sont liées par une relation

où ne figure, bien entendu, explicitement aucune des variables jr,y, Zj on en déduit, en dérivant successivement par rapport aux trois variables indépendantes .r, j^, z :

ôo du do Ov do dw

Ou dx dv dx div dx

do du do di' do dw

du dy dv dy div dy

do du do dv do Ow Ou Oz ' 0\> Oz ' dw dz

" . ^ 1* . • f • 1' f ' 1 » do do do

c est-a-dire trois équations linéaires et homogènes <in -pi -^t ~- : comme la fonction o contient, par hypothèse, une au moins des

do do do

quantités //, i\ (v, les trois dérivées partielles ---, ---> . ne sont

pas nulles simultanément, ce qui exige que le déterminant de leurs coefficients, dans le système ('^-i), soit identiquement nul.

Ce déterminant étant précisément le jacobien -- — '—^ — -, , la condi-

tion énoncée est nécessaire,

2° Elle est suffisante : car, dire que le déterminant jacobien