CHAPITRE I. — GKNÉRALITKS; DIFFÉRKNTIKLLKS

est nul, c'est dire qu'on peut déterminer trois fonctions a, j3, y de x^y^ z, non nulles simultanément et vérifiant les relations

du f. f)v ôiv

âx

ôx

du r, di* ÔKV

Oy ^ oy ' Oy

div

. -+-P:r ^Vttt =-«•

Multiplions la première de ces relations par dxj la seconde par dy, la troisième par dz^ et ajoutons membre à membre; il vient

a </w -H 3 dv -h Y fl^"' = o»

et je dis que celte équation (aii) établit que //, r, \v ne sont pas indé|)endants l'un de l'autre, c'est-à-dire sont liés par une relation. En effet, si w, (^, w étaient indépendants, on pourrait les prendre comme variables indépendantes à la place de x, r, Zj de sorte que leurs différentielles totales (ou accroissements) rfw, rfr, d\v seraient absolument arbitraires; du^ rfr, div seraient donc indépendants entre eux et indépendants aussi des valeurs de x^ y^ z, H^ Vj w^ c'est-à-dire qu'aucune équation telle que (22) ne pourrait avoir lieu. L'existence d'une telle équation entraîne donc la conséquence que z/, i*, iv sont liés par une relation o{u^ c, (r)= o.

Exemple. — Les fonctions de deux variables indépendantes

u = xy^ V — log:r -h logj' sont liées par une relation, car leur jacobicn est nul :

ày

On a effectivement r^rr log//, comme on le voyait a priori,

32. On démontre d'une manière absolument pareille le théorème plus général suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que n fonctions,

,.^ ,\^ M;,, de n-\-p variables indépendantes j^i, x^^ ...,

; . , y* soient liées par une relation est que tous les déterminants ,i\^rJrc n formés avec n colonnes quelconques du tableau

soient identiquement nuls.

ÔXx^

àx,i-^.p

Oxi

à Un âxi

ex,'

àUn

OXfi^p

CIIAPITRK II. — PREMIERS EXEMPLES GKOMKTBIQLKS DINFIMMENT PETITS. 4?