PREMIERS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES D'INFINIMENT PETITS

o3. Formule de Taylor. — On aura besoin, pour certains développements d^infininient petits, delà formule de Taylor, établie dans le cours de Mathématiques spéciales, et qu'on va rappeler

Soit f{x) une fonction d'une variable réelle x, qui soit conlinuc et déterminée, ainsi que ses (/i — i) premières dérivées, entre x = a et j? = 6; supposons de plus que, dans le même intervalle, la dérivée d'ordre n existe et soit déterminée; on aura, si j: et a: -i- A sont compris entre a et 6,

fix -f- h) =fi,x)-^ hf\.r)-^r . . . f -^-^] -,/"-' (^) -t- H//,

le reste l\„ ayant pour expression

y? désignant nn entier positif qu'on peut choisir arbitrairement, et 0 un nombre compris entre o et i qui dépend de />, de x et de //, et dont la valeur exacte est inconnue.

Kn faisant p = n ei p = \ , on obtient les formes du reste dues à Lagrange et à Cauchy

Si dans la formule de Taylor on fait x = o et si Ton écrit ensuite j: à la place de /i, on a la formul<; de Maclaurin :

\ Il i j •

( I — 0 )" -/' R„= X''/"i(kT).

p ,ï,'jL. . .{n — p) *^

oi. Élément d'arc — Cest un infiniment petit dont le rôle est considérable en Géométrie.

Définissons d'abord la longueur d'un arc de courbe plane AB. Marquons sur Tare, en allant de A vers ^[fig. G), des points suc-

Fig. G.

cessifs A, ^1,^2,^3, . . .,B et considérons le périmètre du polygone A<7| «2^.1 - • • B; nous établirons plus tard (Calcul intégral) que ce périmètre tend vers une limite quand le nombre des points de division augmente indéfiniment, de manière que tous les côtés du polygone tendent vers zéro; cette limite, indépendante du mode de division, se nomme la longueur de Varc AB. Admettons provisoirement ce résultat; soit 5 la longueur d'un arc AM, cherchons sa différentielle ds^ c'est-à-dire la valeur

Fil

jc-^djc

principale de Vêlement d^arc MM', M' élanl infiniment voisin AeU[fig, 7).

Je dis que cette valeur principale est la même que celle de la corde MM'.

Menons, en cflTet, les tangentes en M et M' à Vdivc{fig, 8); le

Fis. 8.

périmèlre de tout polygone inscrit dans Tare convexe MM' est