CHAPITRE II. — PREMIERS EXEMPLES GEOMETRIQUES D*INFIMMENT PETITS
inférieur au périmètre de la ligne enveloppante Mï -h TM' qui a mêmes extrémités, et supérieur à la corde MM'. En passant à la limite, on a
corde MM' < arcMM < MT -h TM';
ou, en abaissant TQ perpendiculaire sur la corde et désignant par Y et Y les angles des tangentes et de la corde,
corde MM' < arc MM' < -^ -^ — ^/ •
cosY cosY
Or V et*/ ont pour limites zéro quand M' tend vers M, car la tangente e.st la limite de la corde; la valeur |)rincipale du dernier membre est donc MQ-|-M'Q, c'est-à-dire la corde MlVl'. Il en résulte que arc MM', compris entre deux (juantités dont la valeur principale est cordeMM' a lui-même pour valeur principale corde MW. c. q. f. d.
Corollaire. — On a démontré, en même temps, qu'un arc infiniment petit MM' a même valeur principale que la somme des tangentes extrêmes Mï -+- M'ï.
Ofj. Expressions diverses de l'élément d'arc. — SoientJ^,^les coordonnées de M ; x -h dx ely -{- \y celles de M'. On a, en coordonnées cartésiennes rectangulaires {fi g, ^),
MM' = djr^-^\y ;
donc, puisque la valeur principale de \y est dy-, (i) ds^ = d.r^-hdy^: ds =i ^dx^-^dy^.
On écrit aussi, en mettant Tinfiniment petit dx en évidence,
(jl) ds = dxi/i-h (^{^y=^^^^-^r'*^
y' désignant la dérivée de Tordonnée y de la courbe considérée par rapport à Tabscisse x.
56. Remarque. — Soit 9' (Jig' 9) l'angle que forme la corde MM'
dirigée de M vers M' avec Ox, dirigé de O vers x; on a, sur la
figure,
MP = MM'cosO', M'P = MM'sinO'.
5o PREMIKRE PARTIE. -- CALCUL DIFFÉRENTIEL.
En passant à la limite, la valeur principale de MM' est ds",
Wpji^
^.^Îm""'
JC
jc*djc
celles de MP et M'P sont rf.r et rf^; celle de 9' est l'angle 6 de la tangente avec Ox\ donc on a :
dx = ds cos 6, dy = ds sin 0, fornnules souvent utiles.
sont
d'où
En coordonnées polaires, les formules de transformation
X = p COSCU,
y= psino),
dx = dp cosu) — p sin 10 e/to, dy = dp SI n(j} -i- p cosd) dw.
On en conclut, en portant dans (i), ( 3 ) ds^= dx^ -+- dy^ = dp^ -H p* c/w' ou ds = rfw /p* -i- p'« .
p' désignant la dérivée, -7^ > de p par rapport à co.
Celle formule peut s'établir directement.
Menons, en effet, les rayons vecteurs des deux points voisins M
et M' {Jig* 10); abaissons MP normal à OM'. On a
