CHAPITRE II. — PREMIERS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES d'iNFIMMENT PETITS. 5l
Prenons co pour variable indépendante, l'angle MOM' est rfco;
soient
OM=p, 01Vr=p-+-Ap.
Il vient, avec ces notations,
MP = p sin(rf(o), PM' = OM'— OP = p-h Ap — p cos(c?(d).
Comme Ap est du même ordre que rfco (n® 20), la valeur principale de PM', c'est-à-dire de p + Ap — p(i — -diô^-^-...) est celle de Ap ou dp; la valeur principale de MP, ou p sinrfo), est p rfco, et par suite,
valeur principale MM' = p'rfa)*-H dp^. c. Q. F. D.
58. Courbure d'un élément d'arc plan. — Soit MM' un arc de courbe plane infiniment petit, de longueur ds; désignons par & V angle de contingence de cet arc, c'est-à-dire l'angle infiniment petit que forment les tangentes à ses deux extrémités {/Ig' 1 1).
Fig. II.
On appelle courbure de l'élément MM' la limite du rapport -t->
lorsque, le point M restant fixe, la longueur ds tend vers zéro. Cette limite se nomme aussi courbure de la courbe considérée au point M.
59. Courbure d'une circonférence. — Pour un arc de cercle MM', de rayon R et de centre O (^g» 12)? l'angle de contingence est
évidemment égal à l'angle au centre MOM ; comme on a rigou-
reusement
arc MM' = Ri,
on voit que la courbure, irr^r,» esl constante et éeale à Tin-
* ' arc MM ^
verse du rajon.
60. Courbure d'une courbe quelconque. — Soit A* la courbure en un point x^y d'une courbe plane représentée, en coordonnées rectangulaires, par y=/(x); par définition,
k = lim -r»
as
Or £ est Tangle de la tangente en M(jc^y)n de coefficient angulaire/'(x), avec la tangente en M'(x -\- dx^y -\- ly), de coefficient angulaire /'{x -}- dx) ; on a donc
^^""^^^ i-h/'(x)/'{x4-dx)- ,^f\x)f\x-^dx)
et, en remplaçant chaque terme par sa valeur principale,
, .-Il dxfix) valeur principale de £ = ' ,,, — : •
D'ailleurs on a vu que
ds = dx /i -h/'*{a:)y
fix)
il en résulte
On écrit aussi
ds ~ ^
y^y étant les dérivées de l'ordonnée j^ de la courbe considérée, par rapport à l'abscisse x.
61 . Cercle de courbure. — On nomme cercle de courbure en un point M d'une courbe plane le cercle tangent en M à la courbe et qui a même courbure que celle-ci au point M. On suppose de plus qu'en M la convexité du cercle est tournée dans le même sens que celle de la courbe.
D'après ce qu'on a dit sur la courbure d'une circonférence, le
