O'M MM
sinM' siuE d*oùy en passant à la limite et observant que la limite de l'angle M'
mm
est évidemment ^y et par suite que celle de sinM' est l'unité,
limO'M = — =R.
En d'autres termes, la position limite du point O', où la normale en M' coupe la normale en M, est le centre de courbure de la courbe en M, car le centre de courbure est sur la normale en M, à une distance R de M et du même côté de M que le point O'. Sous une autre forme :
Le centre de courbure en M est le point où la normale en M touche la courbe enveloppe des normales.
L'enveloppe des normales à une courbe plane se nomme la développée de celle-ci; inversement, la première courbe est une développante de la seconde.
62. Rayon de courbure en coordonnées polaires. — Soient V et a {Jlg* i4) les angles de la tangente en un point d'une courbe
Fig. i4.
avec le rayon vecteur et avec l'axe polaire. On a
a = V -h to,
et l'on sait, si p =/(^to) est l'équation polaire de la courbe, que
langV= -. •
L'angle de contingence est évidemment Aa; l'élément d'arc étant (n*» 57)
on a, pour le rayon de courbure.
T^ __ ds dtii v/p*-f- p'« Or
V = arciang-!-,, rfV = ^ rfto = ï-^ — ^i d<u,
d'où
p*-h2p'*-pp'
63. Remarque. — Par définition, la courbure et le rayon de courbure sont des quantités essentiellement positives; dans la
