CHAPITRE II. — PREMIERS EXEMPLES GEOMETRIQUES D INFINIMENT PETITS

formule

on devra doQC prendre devant le radical le signe convenable pour que R soit positif.

C'est pourquoi on écrit souvent, en mettant le signe ± en évidence,

R = dt

On peut toutefois donner un signe au rayon de courbure en

faisant la convention de prendre (i-4-^^)" positivement dans la formule (5) : le signe de R est alors celui de J^'^ Orj^'>'0 (/ig- i5)

Fig. i5.

indique, comme on sait, que la courbe tourne sa concavité en M vers les y positifs; en ce cas, le centre de courbure O est audessus de la tangente, et R (qui est > o) doit être porté sur la nor-

Fig. 16.

jc

maie en M du côté des j^ positifs. Si, au contraire, j^'<;o(y£^''. 16), R (qui est<; o) doit être porté du côté des j^ négatifs.

En d'autres termes, avec Ja convention admise, les rayons de courbure positifs sont portes sur la normale à partir du pied, dans le sens des y positifs; les rayons négatifs le sont dans le sens desy négatifs.

64. Distance d'un point d'une courbe à la tangente voisine. — Soit a:, y un point M d'une courbe; la tangente en M a pour équation

La distance à cette tangente du point M^x-^dx^ y-\- \y)^ infiniment voisin de M sur la courbe, est

Ay — y' dx

Or

Aj =z yix -\-dx) — Y{^)—ydx-^ - y" dx^-\- ■-y'"dx^-^. . .,

ce qui donne pour valeur principale, 8, de la distance considérée

I , dx^

Cette valeur est du second ordre, comme on devait s'y attendre (n° 25); on peut transformer la formule en introduisant l'arc IV1M'= ds et le rayon de courbure R en M :

ds^' = dxHx-^y^), R=:L1 41 L.

On a, en tirant y et dx^ de ces deux relations et portant dans o,

formule très souvent appliquée.

6o. Coordonnées du centre de courbure. — Le centre de courbure (a, [3) en M est sur la normale en M, à une distance R du pied de celle-ci ; on a donc