CHAPITRE II. — PREMIERS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES u'iNPIMMEXT PETITS. Sj

Pour délerminer le signe à choisir, remarquons que le cenlre de courbure est, par rapport à la tangente, du côté des y positifs si J'">o; du côté des y négatifs si^'<< o; ce qui revient à dire que P — y a le signe de y" (voir les deux figures précédentes). Il en résulte que Pou doit prendre le signe -f-, ce qui donne

.X ,1-4- r'* û iH- r''

<9) a = x-y—yr-, p=^^.^.

On peut encore trouver ces formules en cherchant le point où la normale en M,

touche son enveloppe; ce point est donné (Cours de Mathématiques spéciales) par Téquation de la normale jointe à cette équation dérivée par rapport au paramètre (qui est x) :

d'où Ton tire, pour les coordonnées X, Y du point cherché, les expressions (9).

06. Remarque. — Dans les formules qui précèdent entrent y et y'\ si la courbe considérée est donnée sous la forme r^(x^ y)=^ o, non résolue par rapport à y^ il est aisé de calculer y eiy. Ou a en effet, en dérivant Téquation C5 = o par rapport

à Xy

d'où j^'; dérivons une seconde fois

o;,-4- :>y?xj-H/*<p;,-i-y(p;, = o,

d'oùj^'; une nouvelle dérivation donnerait r'^', . . Soit par exemple l'ellipse

On a

b''X-i-a''yy=o,

c'est-à-dire

Une nouvelle dérivation donne

•^ ~ ô* 7* ~~ ~" â^ a-y* ~ a^^ ' Par suite, on a, pour le rayon de courbure, R, au point j:,j'

67. Autre expression du rayon de courbure. — Si la courbe, au lieu d'être donnée sous la forme j^ =f(^x), est donnée sous la forme paramétrique

t étant un paramètre variable, il est aisé d'obtenir l'expression du rayon de courbure R, en fonction des dérivées de o et de A par rapport à t.

On a en effet

dy =y(x)dx;

différentions en regardant t comme la variable indépendante

dfy =:y''{x) dx^-h y'{x)d}x^ d'où

^''f^\ d}y-y'ix)d}x •^^^^= d^^

Remplaçons y'{x) par ~- et portons dans l'expression de R ces valeurs de^^'(^) et^^(x), il vient :

y'ix) dxd^y — dyd^x

les différentielles étant prises dans Thypotlièse où la variable indépendante est t. On peut écrire, en divisant les deux termes pare//',

68. Arc de développée. — Soient M et M' deux points voisins sur une courbe plane, O et O' les points où les normales en M et M'