MT- M'T = MM

sins

, , sin M' — sin M • r» •

et tout revient a prouver que r— ^ est un inliniment petit.

Or

sin M' — sin M __ sinCM-H e)- sin M sine sini

sin M -t-ecosM sinM -h. . .-- sin M cosM sin M -+-...

s -j£3 -+-... I — Je*

(m) PREMIKRE partie. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et celte expression est bien un inGniment petit, puisque, la limite

de l'angle M étant f^> celle de cosM est zéro.

Par suite, la valeur principale (lo) de 00' est celle de AR, c'est-à-dire rfR, et Ton a, en désignant par o- l'arc de développée,

(II) ci7 = dR.

On en conclut (n® 21 )

î — R -h consi.,

c'csl-à-dire que l'arc fini de développée OqO (fig- i8), d'origine

Fig. i8.

fixe Oo, est égal, à une constante près, au rajon de courbure MO. On détermine la constante en supposant que M coïncide avec le point Mo de la courbe, pour lequel le centre de courbure est O^; alors T = o, et la constante est par suite — Ro, Rq étant le rayon de courbure MqOo. Donc

arcOoO = MO — MoOo = R — Ro, ce qui s'énonce ainsi :

Un arc de développée est égal à la différence des rayons de courbure de la développante qui correspondent à ses extrémités (*).

(') Il résulte de celle propriété que si un fil inexlensible, d^abord tendu suivant OM, est enroulé ensuite sur la développée 00g de manière à rester toujours tendu et tangent à la développée au point où il s'en détache, le point M de ce fil décrira la développante MM^. C'est là l'origine des termes de développées et de dé\eloppantes.