CHAPITRE II. — PREMIERS EXEMPLES GÉOUÉTRIQLES u'iNFlMMENT PETITS

69. Rayons de courbure des développées successives. — Soit Q Tangle que forme la tangente en un point or, y^ d'une courbe y =y"(j:) avec Taxe des x; on a

tangO =^' ou 0 = arc lang r'.

Le rayon de courbure R au même point et l'angle 6 sont fonctions de la seule variable indépendante x\ ils sont donc fonction l^in de Tautre, de sorte que

On obtiendrait cette relation en éliminant j: entre leii équations

lan«;0 ^/'{-t).

Cela posé, soient M et M' {Jig> 19) deux points voisins sur la

courbe considérée (c) ; O et O' les centres de courbure en M et M\ centres qui sont sur la développée (rf); Oi et O', les centres de courbure de (rf) en O et O', centres qui sont sur la développée (rf|) de (rf); et ainsi de suite. On peut donner des rajons de courbure successifs de (rf), (rf,), ... aux points O, 0|, ... une expression remarquable.

Soit d'abord R' le rayon de courbure 00| de {d) au point O ;

on a

^, ,. arc 00^ R'= Iim f

car l'angle 0T| O' est évidemment égal à l'angle de conlin-

Fig. 20.

gence e de l'arc MM'. D'ailleurs, d'après le numéro précédenl, arcOO'= rfR, et évidemment (Jig- 20) e = rfO. On a donc

On aura de même pour le rayon de courbure R"=0|02, de (d) au point 0|,

R =— = -:>ft- =? (0).

et ainsi de suite. Donc :

Soit R = cp(8) la relation qui lie le rayon de courbure R, en un point M d*une courbe plane, à l'angle 6 que fait la tangente en ce point avec l'axe des x\ soient O le centre de courbure e/i M ; 0| celui de la développée en O ; Oo celui de la développée enOij et ainsi de suite. On a

00,= R'=9'(0), OiOj= R"=cp'(0),

70. CoroUaire I. — On déduit de là l'expression de R', R'', . . . en fonction des coordonnées x, y du point M, et des dérivées successives^,^", ... en ce point. En effet

ri-^y«)

ïM