Tangente à l'extrémité d'une courbe diamétrale. — SoitMT

la tangente à une courbe en un point M {^fig- 21); menons une sécante HK parallèle à Mï et voisine de MT, coupant la courbe en H et R, voisins de M; M' étant le milieu de HK, on demande

la limite du coejficient angulaire de la droite MM'. C'est évidemment le coefficient anjçulaire de la tangente en M Siudiamètrc des cordes parallèles à Mï.

Soient X et y{x) les coordonnées de M ^ a: -f- A et .r + A* les abscisses de H et K. L'ordonnée de M' sera la demi-somme des ordonnées ^'(jr 4- /i) ci y (x -h fi), et le coefficient angulaire jjl de MM' sera

^{[y(x -r- h)-\-y(x -^ A-)]— y(.r) y(3r -h h)-^j^{T -i- k) — lyix)

h-hk

ou, en développant )-(j: -h A), ^'(j; 4- A") par la formule de Taylor,

D'ailleurs les infiniment petits h et A* sont liés par une relation que l'on obtient en écrivant que HK. est parallèle à Mï, c'està-dire

ou, en développant

Ii--k

Divisons par h — k au premier membre, il vient :

CHAPIXBE II. — PREMIERS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES d'INFINIMENT PETITS. 65

Prenons A' pour infiniment petit principal, et exprimons d'abord A -h f^', qui figure dans (i3), en fonction de k. L'équation (i4) s'écri t

les termes non écrits étant d'ordre trois au moins en k et h -t- A*. La valeur principale du premier membre est

car les termes en A* (A-t-A) et (/i-hAV- sont d'ordre supérieur î*" terme en {h 4- A) ; on a donc

Valeur principale -{h-- k)y''{x) = — ■ k'y"\x).

cesi-à-dire

Valeur principale h -^ k — - - A* --rr- * 3 r (^)

et

par suite

Valeur principale A — k.

'"^ot^ions ces valeurs dans (i3 ), il vient

lim

^^ les termes suivants dans a renferment évidemment A en ^^tfîij|.. donc finalement

limjx —y 3 *^

• > 3^'^ y^" étant les dérivées de j^ au point M. Cette valeur est dif- *^**^nle àe y' (sauf aux points d'inflexion pour lesquels y ^^ o), ^st-à-dire que la tangente au diamètre et la tangente à la courbe Proposée en M sont distinctes.

73. Corollaire. — Reprenons la tangente MT et la corde paral- ^^le infiniment voisine HK (J^g* 22); je dis que l'arc HM a même Valeur principale que la demi-corde HM'. En effet, dans le H. 5

triangle HMM' :

corde H M sinMM'H HM' ~ suTM'MH*

Le rapport des deux sinus tend vers l'unité, car Tangle MM'H a pour limite Tangle non nul de la tangente MT avec la langenle

Fig. 22.

à la courbe diamétrale en M, etTangle M'MH a pour limite Tangle supplémentaire.

Remarque. — Dans le raisonnement précédent, on n'a pas tenu compte explicitement de l'hypothèse que M' est le milieu de HK; on s'est appuyé uniquement sur ce que les deux sinus du second rapport ne tendent pas vers zéro, c'est-à-dire sur ce que In tangente à la proposée et la tangente à la courbe diamétrale en M font un angle non nul.

Il semble qu'on puisse recommencer le même raisonnement en supposant, par exemple, que M' soit au quart de la corde HK à partir de H, et l'on démontrerait ainsi que l'arc HM et le quart de la corde HK ont même valeur; résultat en contradiction avec le précédent. L'erreur du second raisonnement provient de ce que la direction limite de MM' coïncide alors avec MT(*), de sorte

( ' ) Il est aisé de s'en rendre compte. Si M' divise IIK dans le rapport — » on a, pour les coordonnées de ce point,

-~r-^l^'^^-^f^)-^Pi^-^^^ et —^[qy{x-\-h)-k-py{x-^k)], // "T y r ^ H

d'où, pour le coefficient angulaire jx' de MM',

, qy(x-^ h\-\- pv{x -h A- V — ( p -f- q)y{x) q{x -i- li)-f-p{x r k)— {p -\-q)x

y'(x)\qh-hpk] -^ \ y''( x)[q/r--h pk'^] -4- . . .

qh -T- pk D'ailleurs h et A* sont toujours liés par la relation (i4), qui a donné pour h la