CHAPITRE II. — PREMIERS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES d'iNFINIMENT PETITS

que les deux sinus qui interviennent dans le corollaire ont pour limite zéro, et rien ne prouve que leur rapport tende vers l'unité.

74. Application du Corollaire. — Soit à évaluer le rayon de courbure en un point M d'une ellipse {^fig^ 23). Prenons H infini-

Fig. 33.

ment voisin de M sur la courbe et menons la corde HK, parallèle à la tangente en M. On a, pour le rajon de courbure R cherché, en vertu de la formule du n** 64,

R = Iim ^ — >

o désignant la distance de H à la tangente en M, c'est-à-dire la dislance de M à la corde HK.

Menons le diamètre OM, qui passe par le milieu M' de HK ;

on a

8 = MM'siiiO,

0 étant l'angle du diamètre OM avec son conjugué OQ. D'ailleurs,

d'après le Corollaire précédent, on peut remplacer HM par HM',

et il vient

^ ,. I m^'' 1 'i MM sinO

valeur principale —A". Il vient alors, en supposant — ;^i, c'est-à-dire en supposant que M' n*est pas le milieu de FIK,

• ^- kKp-q) y-^i^y -yz:^--'-

ce qui montre que lira |x' — y, puisque /? — 7 J <>•

G8 PREMIÈRK PARTIE. — CALCl'L DIFFÉRENTIEL.

D'après une propriété fondamenlale de l'ellipse, si N est la

est la

seconde exlrémilé du diamètre OM, la quantité^.., , même pour tous les points H de l'ellipse; elle est donc égale, en particulier, à -7^^ b' el a désignant les demi-diamètres conjugués OP et OM. Par suite,

R = hm-M'N ,^ . , = - la —„-^a^

En vertu d'un des théorèmes d'Apollonius a'ft'sinô est égal à a6, en désignant par a et par b les axes de l'ellipse; on a donc

au formule où b' est le demi-diamètre parallèle à la tangente eu M.

Géométrie injinuésimale,

75. H est souvent utile et facile de raisonner géométriquement sur les infiniment petits sans faire appel à l'appareil des formules analytiques; nous allons donner quelques exemples de questions traitées par cette méthode qu'il importe de savoir manier.

76. Triangle formé par une corde et les tangentes aux extrémités. — M et M' étant infiniment voisins sur une courbe, MT

Fig. i\.

et M'ï (^fig* 24) les tangentes en ces points, on demande les