I-es angles y et y' en M et M' se calculent aisément. Ou a

M'P = MM'sinY,

d'où

,, , ... M'P i ds^ £

> aleur principale Y = ;..., = - ,;-,- = -• ^ ^ ' MM 2 K ds i

Comme y -|- y'= e , on a aussi

\T \ ' ' \ I ^ ds £

Valeur principale y = - -,- = -•

77. Application. — On considère le triangle ABC {fig^ -^5), formé par trois tangentes en trois points infiniment voisins M, M'', M' pris sur une courbe; on demande la position limite du cercle circonscrit à ce triangle,

A la limite, tous les points A, B, C, M", M' sont confondus en M^ le cercle cherché passe donc par M. Le centre du cercle circon-

scril à ABC est sur la perpendiculaire au milieu de AB, droite ([ui, à la limite, devient la normale en M : le cercle cherché a donc son centre sur la normale en M, et dès lors touche la

courbe en M. 11 suffit maintenant, pour le déterminer complètement, de calculer son rayon, car il a évidemment sa concavilc en M tournée dans le même sens que celle de la courbe.

Or si R' est le rayon du cercle circonscrit à ABC, on a, par une formule connue.

AG sinb

D'ailleurs la valeur principale de AC, c*est-à-dire AlVr'-h M'^C, est, d'après ce qui précède,

-(arcMiVr^H- i(arclVPM')= i(arclVlM');

A A JL

la valeur principale de sinB est t, angle de contingence de l'arc MM' (=rf5). Donc

limaR = = - R,

c'est-à-dire que le rayon du cercle cherché est le quart de celui du cercle de courbure en M.