CHAPITRE 11. — PREMIERS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES D*INFIN1MENT PETITS
courbe, et qui, à la limilc, se confondent en M; on deniande la
valeur principale de la somme des angles M cl N du triangle MPN ; le point P est entre M et N.
Abaissons Mï et NS normales à la tangente en P; on a
M~^^ ---TPM r-SPN.
Or le triangle rectangle TPM donne
< I ; sinTPiVI = ^^-- •
La valeur principale de MT est (n® 61) ^ — t Ri étant le
rajon de courbure en P, dont la valeur principale est R, rayon
de courbure en M; la valeur principale de MP est (arcMP);
Téquation (i) donne donc
-^^ arcMP
Valeur principale TPM = ,^ — •
' au
De même on aura
d'oii
^'^ arcNP Valeur principale SPN = — rr — »
(2) Valeur principale \Û -f NJ— — ^(arcAIP -\- arcNP ) = —^f/s,
(/s ris désignant l'arc total MN. On peut observer que — .- est la
moitié de langle de contingence, e, de cet arc.
La formule (2) est intéressante; elle montre que la valeur prin-
cipale de (,M-i-Nj qui paraissait, a priori, devoir dépendre de deux infiniment petits, arcMP et arcMN, ne dépend que de ce dernier.
79. Applications. — i^ Cercle oscillateur. — Considérons le cercle qui passe pai* les trois points M, N, 1^; je dis qu'à la limite il se confond avec le cercle de courbure en M. En efl'et, p étant le rayon du cercle considéré, on a
corde MN corde M N
si n MPN
SI
in (m -i- N")
Ln limite de p est donc
,. I ds i ds ^
limo = = - —, — = R.
' 'Ji , , •''^ y\\ 'Â ds valeur principale vM -f- Ny
(letle relation établit le théorème, car le cercle de rayon p esi évidemment, à la limite, tangent à la courbe en M, les deux eourbures étant de même sens; et, puisque limp = R, il vient se confondre avec le cercle de courbure. De là le nom de cercle oscillateur donné à ce dernier cercle.
u" Courbes passant par trois points consécutifs d'une courbe fixe, — Soit une courbe déterminée par un certain nombre de conditions, parmi lesquelles figurent celles de passer par les trois points M, N, P; je dis qu'à la limite, elle a même cercle de courbure en M que la proposée. En effet, le cercle qui passe par les trois points M, N, Pest, à la limite, osculateur àl'une et à l'autre courbe.
3** Hyperboles équilatères ayant même cercle osculateur en un point. — Considérons les hyperboles équilatères qui ont, en M, même cercle osculateur que la courbe proposée; on peut les regarder, en vertu de ce qui précède, comme limites des hyperboles équilatères passant par M, N, P; le lieu des centres de celles-ci, d'après un théorème connu, est le cercle des neuf points du triangle MNP, cercle dont le rayon est moitié de celui du cercle circonscrit au même triangle.
Il est clair, d'ailleurs, que le cercle des neuf points {fig* 27),
Fig. 27.
c'est-à-dire le cercle qui passe par les milieux, des côtés du
