CHAPITRE II. — PREMIERS EXEMPLES GEOMETRIQUES D INFINIMENT PETITS

pose

elle devient

OM = p, IimMP = pi,

pi p Rcosc

formule qui résout le problème puisqu'elle donne p< {/ig- 37),

c'est-à-dire le poiut limite P, quand le rayon incident (c'est-à-dire le point M) est donné. On en déduit aisément une construction géométrique très simple du point P.

8i. Corollaire I. — Si les rayons lumineux incidents sont pa-

Fig. 38.

rallèlcs, c'est-à-dire si O est à Tinfîni, - est nul, et il reste

— = ^T OU pi=-C0SO,

pi Rcoscp ^ '2 '

c'est-à-dire que le point P est la projection, sur le rayon réQéchi , du poiut milieu N' du rayon de courbure MN (Jig. 38).

PRËMIERB PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

80. Corollaire II. — Centre de courbure de la parabole, — Si la courbe (G) est une parabole et si les rajons incidents sont parallèles à Taxe, les rayons réfléchis concourent au foyer, qui est le point P de chacun d'eux. Donc :

Dans une parabole, le milieu N' du rayon de courbure en un point quelconque. M, est à la rencontre de la normale et

Fig. 39.

de la perpendiculaire élevée au foyer F sur le rayon vecteur FxM \^fig, 39).

86. Corollaire III. — Centre de courbure de Vellipse, — Si les rayons incidents parlent du foyer F d'une ellipse, les rayons réfléchis concourent à Taulre foyer F' (//^'. 4^)- On a donc, en

appelant 0 et p< les deux rayons vecteurs d'un point M de l'ellipse, R le rayon de courbure en M, cp l'angle des rayons vecteurs

et de la normale :

pi ~ R COSC3

CHAPIXRE II. — PREMIKRS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES d'iNFINIMENT PETITS. 8l

OU, puisque p -4- pi = 2a,

K cos o =

Oïl peut encore observer que le produit des distances des foyers F et F' à la tangente en M est pp< cos^cp, égal d'ailleurs à b^, conime on sait; donc

cos-^;p a

fornnule qui donne une conslruclion très simple du centre de courbure.

On peut aussi écrire

ST. Longueur de l'arc de caustique. — Cherchons la valeur pl'incipale de l\rlénient d'arc PP' (Jiff. 4i) de la caustique, il

l'iy. U-

'^"Hii d'appliquer aux segments MP et OM la formule de la varia- ^ïoii de longueur (3), ce qui donne :

d(MP) = MM'cos(M\r, PM)-H PP'cos(PP', MP). diOM) = M M' cos (M M', OM).

Ajoutant membre à membre, et remarquant sur la figure que

oos(MM', PM) = — COS'}, cos(MM', 0M)= cos']^, co5(PP', MP)=- r.

on trouve

rf(OM-f-MP) = PP'.

g2 PIBMIBRB PÂMTIE. — CALCTL DirPBEEXTIEL.

Si donc 0" esl l'arc P^P (Jig' 4^) de caustique, PP est égal àd(r\ cl l'on a(n* 21)

OM-T-MP = j-i-consi.

Fig. 42.

La coDStanle se détermine en écrivant que 7 esl nul quand M el P sont en M« en P^; d'où la formule très simple

arcPoP = (OM h- MP) - (OMo-4- MoPo).