CHANGEMENTS DE VARIABLES

88. Énoncé du problème. — Soit z une fonction de n varrables indépendantes x^ y^ ...;:;== fi-^^yj • • •)• ^" ^^ donne n + i quantités, ?/, ç, . . ., (v, fonctions de .r, j^, . . ., ^,

En vertu de ces expressions et de l'équation z =i f(^x, y^ . . .), il existe une relation entre //, v^ (v, c'est-à-dire que w est fonction de 1/, i^, .... Cela posé, le problème du changement de variables est le suivant :

Exprimer les dérivées partielles successives de z par rapport a x,y, . . . , a savoir j-> z-, y^ , . • •> e/i fonction des dérivées partielles successives de iv par rapport à u, v, . . ., à

savoir -—9 -— , -.— r» •••; ou, inversement, exprimer -r-- 9 -r-f •••, du dv OU' ' T i- ()ii f)ç

Oz àz en fonction de —t -r^, • • ••

•' ox dy

Ce problème peut être traité de bien des manières; on n'indiquera ici qu'une seule méthode reposant sur l'emploi des diflTérenlielles totales. Afin de préciser Ténoncé de la règle finale, on appellera fonction et variables anciennes celles qui figurent dans les dérivées dont on cherche l'expression ; yb/ic^£OAi et variables nouvelles celles qui figurent dans les dérivées à l'aide desquelles on veut exprimer les précédentes.

Ainsi, si l'on cherche l'expression de t-» -r-y •••> en fonction

de -r- > -7-' •••* la fonction ancienne sera z. les variables andu dv '

ciennes x^ y^ . . . , la fonction nouvelle sera w, les variables nouvelles £/, v^ ....

8'i PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.