I. — SOLUTION

89. Cela posé, supposons, pour simplifier récriture, n = i\ z est fonction de deux variables indépendantes x^y^ et Ton se donne les équations qui définissent le changement de variables

Admettons que les fonction et variables anciennes soient z^x^y^ c'est-à-dire qu'on cherche à exprimer ^, -:->..•» en fouc-

tion de T— > -T~» • • •• du ôv

Partons de la relation de différentielle totale entre la fonction et les variables nouvelles

( 2 ) div = -r- du -^ -^ dv ,

^ ' du dv

et différentions les équations (i) du changement de variables :

du = -r^ dx -h -^ dy -^ -^ dzj ox dy "^ oz

(3) { dv=2 -^dx-^ ,,.,

dw = -/^ dx -+-....

ox

Portons maintenant ces valeurs (3) de du^ dvy d\v (*) dans la relation (9.); il vient, en ordonnant par rapport à dx, dy, dz :

"" \du Ox dv dx dx ) *^ \ c^m ày~^"'/ \du dz "')'

Si l'on résout cette équation par rapporta dz^ on a une rela-

(*) Il n'est pas nécessaire de supposer, comme nous l'avons fait pour simplifier les écritures, que les trois équations (i) du changement de variables sont résolues par rapport aux variables nouvelles u^ Vj w\ quelle que soit leur forme, en les différentiant, on obtiendra trois équations (3) d'où l'on tirera linéairement du^ dK\ div pour les porter dans (a). En d'autres termes, on éliminera dUf dvy dw entre (a) et (3).