CHAPITRE 111. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

lion de la forme

et, d'après le n** 38, le coefficient P est égal à ^> Q à n- • Donc

dz ___ du âx dv àx ôx ùz

àx dw do àiv â*^ ày^ ày ~ ' ' ' '

du âz Ov âz âz

ce qui fournit les expressions cherchées de -r^> -r-> en fonction de -7— > -y-> et des dérivées partielles des fonctions données cp, A, y.

Le problème du changement de variables est donc résolu pour les dérivées premières; calculons maintenant les dérivées secondes.

On opère d'une manière analogue, en difTérentiant les équations (2) et (3) dont on vient de se servir, et en regardant comme variables indépendantes les variables anciennes x^ y (*).

On trouve ainsi

à' w d^ w d^ iv dw dw

( x bis) d^iv = — — T- du* -f- 9. - — — du dv h — — — dv* h d* u -+- — — d^ v,

du* du dv dv* du dv

d*u = ^ dx*-h2-, — ^-dxdy-h. ..-h -r-^ dz*-^- -^d*z, dx* dxdy ^ dz* dz

{3 bis) < d*v = —^-dx*-h,..y

d*y d*w = ~—i' dx* -H . . . .

dx*

Portons dans (2 bis) les valeurs de d'^u, rf^r, d^iv tirées de (3 fcw), ainsi que les valeurs de du, dv tirées de (3); nous obtenons une relation de la forme

o = M dx*-h N dy*-^P dz* -^ 2Q dx dy -^ 2R dx dz -^ iS dy dz -hTd*z,

dans laquelle nous remplacerons dz par sa valeur (4), ce qui donne une relation finale de la forme

Cdx*-^2Ddxdy-hEdy*-^Tdiz = 0y

( » ) C'cst-à dire en supposant d^x — d^y = c».

OU C, U, b, 1 sont des fonctions de -j— ^ -—> — — r > -^ — - > , , ? et ^ ' c^w c/i' du* Ou Ov ôv-

des dérivées partielles, premières et secondes, des fonctions

données cp, tj/, y. Si Ton résout par rapport à c/^^, on sait (n'* 47)

que les coefficients de rfjc^, idxd\' dy^ sont -r-v» r— r-' -:-;» en sorte que

ce qui résout le problème pour les dérivées secondes.

On obtiendrait de même les dérivées troisièmes en difTérenliant les équations (2 bis) et (3 bis), et ainsi de suite.

Voici donc la règle qui résume la solution du problème des changements de variables.

90. Règle. — Soient :; la fonction et x, y les variables anciennes; fv la fonction et e/, v les variables nouvelles.

I** On écrit Téquation de difTérentielle totale entre la fonction et les variables nouvelles, équation que nous appellerons (A) :

div = -— du H — — ar.

ou dv'

2" On différenlie les équations qui définissent le changement de variables, ce qui donne des équations que nous appellerons (B).

3° On élimine entre (A) et (B) les différentielles des fonction et variables nouvelles ^Av, du^ dw

On obtient ainsi une relation, (C), entre dz, dx, dy qui donne

immédiatement (n® 38) l'expression de-r^» ~ en fonction de — >

ùw

Pour exprimer les dérivées secondes de 5, on différenlie (A) et (B), et regardant comme variables indépendantes les variables anciennes x et y^ entre ces nouvelles relations, (A'), (B'), et les équations (B) et (C) [ou (B) et (A)] on élimine les différentielles premières et secondes des fonction et variables nouvelles rftv, du^ dv^ d^iv, d'ii, <:/-i', ainsi que la différentielle première de la fonction ancienne dz : le résultat est une relation (C) entre d- z, dx^

dy, qui donne immédiatement (n° 47) l'expression de t-j > . *\ » \-7v