CHAPITRE III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

eo fonction des dérivées premières et secondes de w par rapport k u et V.

En difTérentiant encore (A') et (B'), et opérant d'une manière analogue, on aurait les dérivées troisièmes, et ainsi de suite.

91. Remarque. — Il importe d'observer qu'on ne s'est pas servi explicitement, dans ces calculs, de la relation qui lie s à jc et y^ on a seulement supposé qu'elle existait; les formules obtenues sont indépendantes de la forme de cette relation. Il en résulte que, si une fonction inconnue z, de x, y, satisfait à une équation diflférentielle donnée

âz âz à*z dx i)y Ox*

c'est-à-dire que, si l'on a à résoudre (ou intégrer) une telle équation, on pourra la transformer par un changement de fonction et de variables, sans connaître l'expression de 5 en ^ et^. Il suffira, dans le cas du changement de variables considéré plus haut, de

remplacer dans F les quantités x, y, z, —^ . » • • • par leurs va-

, âw dw ,, , .

leurs en u, r, «», -r ^ —-,.••* et 1 on aura une équation

^ ^ ou àv *

dw dw

Tu' à'. • ■■•>'--"'

dont la solution iv pourra élre plus facile à trouver que celle de l'équation primitive F ::= o.