Exemple I. — Soit z :^/{x^ y); on pose

u—y-^z^ V = z -h X, w=x-hy;

dz dz d^z

et l'on demande d'exprimer — , ^ et -r —r- en fonction des dérivées

^ dx dy dx dy

partielles, premières et secondes, de kv par rapport à w et v.

88 PRKMIKRR l'ARTIK. — CALCUL HIFFÉRENTIEL.

Appliquons la règle : la fonction et les variables nouvelles ëtanl (V — , H, r, écrivons

( A ) ail* = -T— fttt H av.

ou Ov

Les équations (B), obtenues en diflTérentiant les équations du changement de variables sont

/ {in z= (Ij- ^ riz, ( B ) < (iv == flz -+- dx,

\ dw = dr -f- dy,

Entre (A) et (B) éliminons du^ rfr, dw pour former la relation (C) entre dx, dy^ dz; il vient

''•^(^ -'j -^ ''-•'(rM - V -^ ''^l j« -^ t;^) = ";

( c ) rf-- = .--^',' dr -.- ]~. ^- dy ;

du Ov Ou Ov

ce qui donne immédiatement les valeurs cherchées de t- et — :

T Ox Oy

dz ôv dz du

dx dw d^v dv div div

du d{> itti dv

Reste à calculer - — —/, pour cela différentions (A) et (B), en

regardante ci y^ variables anciennes, comme les variables indépendantes :

*/v ,. c^'w * - d-w , . d^M> . ^ div . div ,^

A ) d^ iv = .— du^ ■+- 9. -- — , du dv -+- --- dv^ -h ^~ d-u -\ d^v:

du^ dudv dv^ du dv

1 cr-u -- d^z, (B') ' d'-v ^ d'-z,

f d^iv — o.

Eliminons d^u, rf^r et d-iv entre (A') et (B'), et remplaçons