CHAPITRE III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

du^ dv par leurs valeurs (B); il vient :

fi^ W f)^ il'

o = -r — (f/y-^r/z)--h'i (f/y -h f/z)( d.r -+- dz )

ôu^ " Ou ov -^ '

■+■ ---(dx-^-dzy--^ --d*z-h -—diz, Ji'* Ou Ov

on en ordonnant

/âw Oiv\ OUv ^*«' i ,

o = d-zl - -+- - H d.r- -r- -- — dy^

\0u Ov ] Ov^ ùu^ '

OUv , , /O'iv OUv \ , ,

-+- '?. ^ — T-dx dy -f- 1 — - H- , — 1 dy dz OuOv -^ \ (>//^ ôuOvJ ^

iO^-KV OUv \ . . (O'^Kv ()*(!• à^-\v\

\ ov- Ou ov ! \0u' Ou Ov Ov^ /

Cette équation n'est pas encore Téquation définitive, parce qu'elle contient non seulement d'^z, dx et dy^ mais encore dz\ lirons donc âfs de (C), suivant la règle, et portons-le dans l'équation

ci-dessus : comme nous cherchons l'expression de -t — ^, nous

^ Ox Oy

n'aurons besoin que de coefficients de d'^ z et de dx dy. On a ainsi

. lùw dw\ .

1 « = '''Kd«-*-^)^'''^

1 dx dy

Ow w ^ Ov

(Or..

OUv \

Oiv

Oiv Oiv \ Ov' Oti Ov J Oiv Ow Ou Ov Ou Ov

fO^w OUv 0'-

/ Oiv \ / Oiv\

I V-»*' u-\% O^w \ \ Ou I \ Ov J

\ Ou^ ' Ou Ov Ov^ j I Ow Ow \ -

\0u "^ ~ôv)

Par conséquent on a

Ox Oy Ow Ow

Ou Ov

en désignant par [ ] le coefficient de idxdy dans l'équa-

tion (C).

93. Exemple II. — Soit encore z une fonction de x^ y; on prend pour variables indépendantes, à la place de x, y, les

quantités

et l'on conserve la fonction z : on demande d'exprimer les dérivées premières et secondes de z par rapport k x, y en fonction des dérivées de z par rapport à w, i'.

Les fonction et variables nouvelles sont z — , «, i' ; écrivons donc

(A) dz — —-du-^- -r-dv,

du ov

Les équations (B) sont ici

1 du — -^ dx -h -r^ dy,

\ àx ây -^

/ dv — -^ dx -I ^ dy,

\ ox ôy '^

D'où, en éliminant du et d\? :

' \du dx âv ôx I '^ \du ôy àv ày }

ce qui donne

àz ^ dz do ôz à^ âz àz do dz d^

dx du dx »>v dx^ dy du dy di> dy

Pour calculer les dérivées secondes, différentions (A) et (B), les variables indépendantes étant x et y :

(A ) d*z = — —aw^-h •>. - — —dudv h dv^-^ -—d^u H- -7- d*v,

du* du di' dv* du dv

id^ m d^ o d^o

d^ u — -T— dx^ H- 2 ,— ' - dx dy -+- -— Ç dy^. dx* dxdy -^ dy* ^ '

d*^ d*v — — \ dx'*' -4- . . . , dx*

d'où, en se servant de (B),

du* \dx dy -^ /

^ du \dx^ "-^ ^■■■)^ àv \0x^ «^ -^- • • Le second membre ne conlenanl que dx el -dy, et non dz, il