Remarque I. — Si l'on demande inversement d'exprimer

-T-'-r-* '" en fonction de-r^*^> •••» la méthode &:énérale exige ou dv dx dy 00

que l'on recommence les calculs, en considérante: ely comme les variables nouvelles, u Qi v comme les variables anciennes. On peut toutefois se servir des calculs précédents, car les équations (6),

linéaires par rapport à -- et -r-> fournissent ces quantités en fonc-

à z dz

lion de — et —; de même, des équations (7), on peut tirer linéaire-

ment -.— > - — --> -—• Cette remarque s applique au cas général.

95. Remarque II. — Dans le cas de l'exemple II, il est peutêtre plus court d'employer les dérivées au lieu des différentielles. En effet, z étant considéré comme une fonction de u et de r, qui sont eux-mêmes fonctions de x et y^ on a, par la théorie des dérivées :

dz

dz du dz di>

dx

du dx dv dx

dz dy

dz du dz dv du dy dv dy '

ce sont les équations (6) où l'on a écrit --» • • • au lieu de -r^^ • • •»

ce qui revient au même, puisque u = 'f(x^y).

Dérivons ces deux équations successivement par rapport à x

9*2 PREMIKRE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

et r, en regardant t^ et -^ comme des fonctions de it et v^ qui sont eux-mêmes fonctions de x etj^; nous obtenons

d^-z d^z /àuy d^js au dç ^ à'- z / àvy ôz^ ô^ u ôz d'-v

Ox^ Ou^ \0x J OuOv ùx ôx Ok'^ \àx/ du àx^ Ov Ox^

O^z Ox ôy

0^ Oy

c'est-à-dire les équations (7).

96. Exemple III. — Soit z z=f(^x, y)] on prend pour variables

indépendantes, à la place de x et j', ;/ = jc et v == — ; on demande