Exemple IV. — Soit encore ^=:/(x, ^); celte équation
délinit aussi ^ comme fonction de :r et de >3; on demande d^expri-
nicr les dérivées premières et secondes de y par rapport à j: et -3,
. àv ^y r • 1 1 » • r 1
a savoir-^» •—> •••> en fonction des dérivées de z par rapport a
x^\y, à savoir^, *-^y • -, ou p,q,r, s, t.
La fonction et les variables nouvelles sont z — , x ei y: on écrira donc
( V ) dz — p dx -r ij dy.
Quant aux. équations (B), il n'y a pas lieu de les écrire, car elles se réduisent à dx = dx^ dy = dy^ dz = dz, Résolvons (A) par rapport à dy :
dx
ce qui donne
()y p dx q
dy 1 dz q
Pour calculer les dérivées secondes, di(rérenlions(A), en regardant comme variables indépendantes x et z^ variables anciennes; il vient (puisque d'^x ^= d- z = o),
r dx- -+• '}. s dx dy -h / dy^ -t- q d^y ~ o.
Enfin, pour obtenir la relation finale entre rf^^, dx et dz^ remplaçons dy par sa valeur (C); nous trouvons
— q d^Y = r dx^ -^ 7,s dxi — — dx -{ dz] -\- l ( — '- dx -a dz\ .
ce qui donne
dx^ q \ q q^J q^ ^ '' "^ ^
âz^ q^ '
98. Exemple V. — Considérons maintenant une fonction d'une seule variable, y-.=:f(^x)j et faisons le changement de variables
En vertu de y=/(x)^ p est fonction de co; on demande d'exprimer y'j.^ y^ (ou plus simplement j^, y) en fonction de pi,, p][, (ou p', p").
La fonction et la variable nouvelles sont p et w; écrivons donc
(A) rfp = p'f/oj.
j rfj7 = ^p costu — p sin to <iu), ( rf^ = cfp sinw -h p coswc^w.
Entre (A) et (B) éliminons rfp et rfo); il suffit de diviser membre à membre les deux équations (B), ce qui donne, en tenant compte de (A),
, , dv , p'sinto -4- p cosio
(lo) -^ =y= -, . -;
' dx ^ p costo — p sintu
c'est l'expression de^' en fonction de p'.
Pour calculer j^*, dilTérentions (A) et(B) en regardant comme variable indépendante la variable anciennes; il vient
(A') û?«p = p'rftii»-+-pV*w,
!o =: d*p cosw — 2dp dtù sintu — p costu rftu' — p sintu <i*tu, d^y = d^p sintu -h idp dta costu — p sintu rftu- —- p costu cf*tu.
D'après la méthode générale, il faut, pour obtenir une relation entre rf^j^ et rfx, éliminer rfp, rfw, c/^p^ ^a^^j ^^ û^ entre (A), (B), (A'), (B); le plus simple est de tirer rfto et dp de (A) et de la première équation (B), ce qui donne :
, dx , o'd.r
