CHAPITRE III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. cj

en posant

D = p'costu — p sinoj.

Tirons ensuite d^p et d'^to de (B'). Pour cela, multiplions la première équation (B') par cosco, la seconde par sino) et ajoutons

(/^y sin ta = d^p — p rfco*, d*où

d*p = é/2^'sintu^-p ^.

De même, multiplions la première équation (B') par sino), la seconde par cos(o, et ajoutons :

d^}' costu = jidp dta -h p d^ta,

d'où

d^oi = - I d^y cos w — ip' -j^ 1 •

Portons enfin les valeurs de rfco, d^p et rf^w dans (A') :

., . dx^ ^dn p'/ ,dx^\

û?2j. sin tu -h p -g^ = p —-^ i^{^d^ycostù-ip-—y

c'est-â-dire, en multipliant les deux membres par p,

^d^y= -YiT (9'-^ '>•?''- Pf).

ce qui donne finalement

*^ (p'coso) — psinto)*

99. Corollaire. — D'après cela, l'expression du rayon de courbure d'une courbe plane, p = p ( w), en coordonnées polaires, s'obtiendra en remplaçant, dans la formule

ri^y*)«

y' eX. y par leurs valeurs (lo) et (n); on trouve ainsi, comme au n^ 62,

ro«-f-p'*)«

p>H-ap'*— pp* 100. Remarque. — Pour trouver l'expression de R en coor-

qG première partie. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

données polaires, on autalt pu partir de la formule du n® 67 :

~ d^^ dar — d^ a- dy '

OÙ X ely sont regardées comme fondions d'une même variable. Or, en posant

X = p cosw, X = p siu w,

on peut regarder x el y comme fonctions de w, puisque, sur la courbe, p est lui-même fonction de w. On en déduit

dx = dp cos w — p sin to dit>, dy = dp s'inta -^ p cos w do),

DilTérentions encore, en regardant co comme la variable indépendante, c'est-à-dire en supposant d'-io = o :

d^x = d^p cos tu — 51 sin (o d-i dto — o cosw doj'^. {i*y = d*p sin to -+- ticosto ^/p r/to — p sin tu du)^.

Il suffit maintenant de porter ces valeurs de dx^ dy^ d'^x^d^y dans R, pour retrouver :

R= {dp''- -^ p'*- dis^ f

p* diii^ -t- '1 dp- diii — p d' p dtn ^ ( dp \^ d^p

101. Exemple VI. — Soit^ =/(^x); on pose x = rD(t)j et l'on demande d'exprimer les dérivées de y par rapport à ^ en fonction des dérivées de y par rapport à t.

C'est le plus simple des problèmes de changement de variables, et la méthode générale s'applique sans difficulté. 11 est plus court toutefois de se servir des dérivées au lieu des difl'érentielles et de raisonner comme il suit :

Soient ^J, y]. . . les dérivées dey par rapporta/; soient de même .r) , ^J, ... les dérivées successives de a:, c'est-à-dire ?'(^)î ?'\0' . • • ; on a évidemment (n« 24)

dx x'i

Dérivons les deux membres de celte relation par rapport à x. Pour dériver le second membre, nous le dériverons par rapport