CHAPITRE III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

H t et nous multiplierons le résultat par -^» c'est-à-dire -7; il vient

duc '^ t

aîusî

et de même, en continuant les dérivations,

dx^ x'i^

102. Exemple VII. — Soit jj' =:/(x); on prend ^ pour variable indépendante et x pour fonction, et Ton demande d'exprimer les dérivées de y par rapport à Jc en fonction des dérivées de X par rapport à^*.

Il suffît de supposer, dans rexem|)le précédent, / =^, ce qui donne

dy , \ „ t\

di ^" -^'-^^^ ^^ = '^' ""

On aurait pu raisonner directement comme il suit. Il est clair

que j^^ =--?-; dérivons les deux membres par rapport à x : la

dérivée du premier est y"; pour trouver celle du second, prenons la dérivée par rapport à y et multiplions par la dérivée de y

par rapporta x^ c'est-à-dire par -r> il vient

Intégration d'une équation différentielle,

103. On rencontre en Physique (Théorie des cordes vibrantes) le problème suivant d'Analyse dont on peut trouver la solution à Taide d'un changement de variables.

Déterminer la fonction la plus générale w, de deux variables indépendantes x et t, qui satisfasse à réqualion

'»> ^=^^ (a = consl.).

Conservons l'ancienne fonction u et prenons pour nouvelles II. 1

gS PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

variables indépendantes les quanlilés

; — .r -^ at, % —. X — (tt\

cherchons alors ce que devienl 1 équation (i) après ce changement de variables.

On a, en appliquant la méthode par les dérivées indiquée dans la Remarque II du n° 95,

de même,

du du a\ f)tf ôr^ f)it Oit

'àl ~~ 'ôl ôï ~ ôr, ITf ~~ ^ 7)^ ~ ^' ôr/

Oit On Ou

Ox Oc ' Or.

et, en continuant les dérivations,

Oi u I f)« U Oi u \ [ c>2 u 0^ u \

0^-u iY'U OUt 0^-u

Ox^ ()$« O^^Or^ Or^'i

Portons ces valeurs dans Téqualion (i); celle-ci se réduit à

Oz Or

forme qui s'intègre facilement. En clî'et, elle exprime que -r^ est

indépendant de r,, puisque sa dérivée par rapport à r^ est nulle:

on a donc

Ou ^

/{^) désignant une fonction de ;, quelconque d'ailleurs. Remontons aux primitives

'^(Ç) élant une primitive de /{^) et C une constante par rapport à Ç, c'est-à-dire une fonction de r,, ^(vj), d'ailleurs arbitraire. Quant à cp (Ç), c'est aussi une fonction arbitraire, comme primitive d'une fonction arbitraire. On a donc enfin, comme solution