III. - CHANGEMENTS DE VARIABLES PLUS GÉNÉRAUX
lOi. Soit toujours z une fonction de deux variables indcpendanles x ely; reprenons les formules du changement de variables (où nous écrivons X, Y, Z à la place de w, i^, tv) :
(l) X = <p(.r, )-, 5), \ — y(jr. y, Z)j 7. — ^[J-, y, z ).
Nous avons vu que les dérivées de z par rapport à ^ et y s'expriment en fonction des dérivées de même ordre (et d'ordres inférieurs) de Z par rapport à X et Y, et réciproquement.
Eu particulier, si Ton désigne par P et Q les dérivées ^ ^^ "ïV'
P el Q sont des fonctions de x^y^z^ p^ q] et la forme de ces fonctions est indépendante de la relation enire ;; — , x et^'. (Remarque du n" 91).
Géométriquement, les équations (i) définissent ce qu'on nomme une transjormation ponctuelle, parce que, à un pointer, y, z de l'espace, elles font correspondre un ou plusieurs points X, Y, Z, et réciproquement. Si le point x^ y, z décrit une surface 5, le point correspondant X, Y, Z décrira une surface S, et Ton dit que 5 et S sont transformées Tune de l'autre par la transformation (i).
Il est clair ((u'une transformation ponctuelle consente le contact, c'est-à-dire transforme deux surfaces tan;^eutcs en deux surfaces taiigenles. Soient, en effet, s et s' deux surfaces qui se toucbeut en un point m : c'est dire (n" 48) qu'au point m les valeurs de x, y, 5, p et q sont les mêmes pour les deux surfaces. Désignons par M(X, Y, Z) le transformé de m; il résulte de ce
lOO PREMIERE PARTIE. — CALCl'L DIFFERENTIEL.
qui pn'cède qu'au point M les valeurs de P etQ seront les mêmes pour les deux surfaces S et S', transformées de s et 5', c'est-à-dire que S et S' se touchent en M.
103. Cela posé, au lieu d'un changement de variables poncluel, considérons le changement de variables plus général :
(2) X = ?(x,^, 3,/), 7), Y = /^{jr,y,z,p,q), Z =z'^{x,y, z,p,q),
OÙ p ci cj désignent les dérivées partielles de :; par rapport à x et y. Si le point ^, y^ z décrit une surface donnée, 5, les quantités z^ p ei q sont des fondions connues de x et y, de sorte que le point X, Y, Z décrit aussi une î>urface S dont l'équation s'obtient en éliminant x cly entre les trois relations (2). La transformation (2) fait ainsi correspondre à une surface quelconque, .v, une surface, S, dite transformée de la première; mais ce n'est pas une transformation ponctuelle, car pour déterminer le point X, Y, Z il faut se donner non seulement le point x^ y^ z sur la surface 5, mais encore/? et y, c'est-à-dire le plan langent en ce point à cette surface.
Cherchons maintenant à déterminer le plan langent en un point
de S, c'est-à-dire à exprimer -r^ et -rr en fonction des dérivées de z
par rapport hi x cX. y \ la méthode générale du changement de variables s^ applique sans modification.
Parlons de la relation difTérenlielle entre la fonction et les variables nouvelles :
( A ) ctz = p ilx -^ q dy,
et dllférentions les équations (2) du changement de variables, en observant (n" 48) que
dp = /• dx -h s dy^ dq =z s dx -h t dy^
/*, 5, t étant, comme d ordinaire, ---» . 1» -r-^' H vient
' ' ^ ' dr* Ox oy Oy*
il faut maintenant, selon la régie, éliminer dx, dy^ dz entre
CHAPITRK III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 10 ï
(A) et (B); nous tirons pour cela dz de (A), nous le portons clans (B), et nous éliminons dx et dy par le déterminant
' ,,. do do â^ do ào d^ do do
dar ' dz dp dq dy dz dp d(j
dx dy I
Résolvons enfin cette équation par rapport à rfZ; les coefficients de rfX et d\ seront -r^. et —♦ c'est-à-dire P et O-
Sans développer les calculs, on voit immédiatement que, en *:énéral, P et Q dépendent non seulement des dérivées premières p et y, mais encore des dérivées secondes r, 5, t. C'est une différence fondamentale avec le cas des transformations ponctuelles; elle subsiste pour les dérivées d'ordre supérieur, c'esl-à-dire que les dérivées secondes de Z dépendent des dérivées de 5 jusqu'à Tordre trois et ainsi de suite.
106. Transformations de contact. — Il peut arriver cependant que pour des transformations particulières, c'est-à-dire pour des formes particulières des fonctions cp, y et i^\ les dérivées P et Q ne dépendent que Aq p ei q et non de r, Sy t\ on dit, en ce cas, que la transformation (2) est de contact, c'est-à-dire conserve le contact. Supposons, en effet, que deux surfaces s el s' se louchent en Xq, j^o, ^oi c'est-à-dire aient, en ce point, mêmes valeurs />o el q^ dep et q; les deux surfaces transformées de s et 5' par (2) auront en commun le point
où elles se toucheront, puisque P et Q, qui ne dépendent que de Xy^y Zj />, q, auront, en ce point, les mêmes valeurs.
Les transformations de contact conduisent à une conception intéressante des éléments de l'espace.
Soit, en effet, une transformation de contact (T)
(T) ^ d*où Ton déduit, puisque (T) est de contact,
P = *(j-,7, ;;,/), 7), Q = yi\x, y, z,p, q).
IO'2 PREMIKRK PARTIE. — TALCUL DIFFERENTIEL.
Considérons maintenant un point m(x,y^ z) de Tespace et une surface passant par ce point; le plan tangent m à la surface en m a pour coefficients/?, y, — i. A toutes les surfaces s passant par m et tangentes à m en ce point, la transformation (T) fait correspondre des surfaces S, passant par un point M et tangentes en ce point à un même plan II; si donc on appelle élément de l'espace V ensemble d'un point m et d'un plan m passant par ce poini, on peut dire qu'une transformation de contact fait correspondre à un élément (m, m) un ou plusieurs éléments (M, II), et réciproquement. De plus, toute surface possédant Vêlement (m, tu), c'est-à-dire tangente à tïj en m, est transformée par(T) en une surface qui possède l'élément correspondant(M, II). Enfin, l'ensemble des éléments appartenant à une surface est transformé par (ï) en l'ensemble des éléments appartenant à une autre suiface, à savoir la surface transformée définie au n** 103.
Anal^iiquement, la correspondance entre les éléments est établie de la manière suivante.
Le point m étant x^ v, z, et le plan tïj ayant pour équation celle du plan tangent à la surface 5, à savoir :
(Ç, 7,, !J coordonnées courantes); le point M étant de même X, Y, Z, et le plan II aj^ant pour équation
on a, pour déterminer X, Y, Z, P, Q en fonction de jc, y^ 5, /?, q^ les équations (T) de la transformation.
On voit qu'on fait maintenant abstraction de la signification de /?, gr, P, Q comme dérivées; ce sont simplement les coefficients qui figurent dans l'équation des plans composant les éléments*
107. Conséquences. — Dans cette manière de concevoir l'es pace, une surface sera considérée comme le lieu d'une infinité double d'éléments, chaque élément étant formé par un point et par le plan tangent en ce point; la transformée de la surface par (T) sera le lieu des éléments transformés des premiers, et ce sera une autre surface, comme on l'a observé plus haut (n° 106).
Une ligne peut être regardée comme la limite d'une surface
