CHAPITRE III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. I
ayant la (orme d'un (il de diamèlre inflDiment pelil; il est clair qu'à la limite les plans langents à une pareille surface deviennent les plans tangents à la ligne, c'est-à-dire qu'un élément appartenant à la ligne est formé par un point de celle-ci et par un plan quelconque mené par la langenle en ce point. La ligne est ainsi le lieu d'une in(inilé double d'éléments; sa transformée par (T) sera en général une surface, rien ne prouvant a priori que ce soit une autre ligne.
Si, par exemple, la ligne est une droite
un élément sera formé par le point (^,^, z) et un plan quelconque de coefficients /?, 7, — i contenant la droite, c'est-à-dire tel que
p -\' aq — b = o.
Pour avoir l'équation en X, Y, Z de la surface transformée de la droite, il faudra éliminer j:,j^, z^ /?, q entre la dernière relation, les deux équations (D) de la droite et les trois premières équations (T).
Un point {x,y^z) peut être regardé comme la limite d'une sphère de rajon infiniment petit; c'est donc aussi le lieu d'une infinité double d'éléments, formés chacun par le point et par un plan quelconque mené par ce point. Sa transformée est une surface dont l'équation (en X, Y, Z) s'obtient évidemment en éliminant/? et q entre les trois premières équations (T).
Soient 5 une surface, S sa transformée par (T); cherchons la transformée d'une ligne / tracée sur s, 11 est clair que / a une infinité simple d'éléments communs avec 5, à savoir ceux qui sont formés par un point de / el le plan qui louche s (et par suite /) en ce point; donc la transformée de / est une surface, A, qui a une infinité simple d'éléments communs avec S, c'est-à-dire qui touche S en une infinité simple de points, ou encore qui touche S suivant une ligne. Ainsi :
La transformée d\ine ligne tracée sur une surface, 5, est une surface circonscrite à la transformée de s.
Si deux lignes l et l se coupent en un point /?î, elles ont un
lo4 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.
rlémenl commun, à savoir celui qui est formé par m et par le plan des tangentes aux deux courbes en ce point; donc leurs transformées ont un élément commun y c^est-à-dire sont deux surfaces tangentes en un point.
108. Remarque. — Reprenons la transformation de contact définie par les équations
d'où Ton a tiré
(i bis) P = ^(T,y,z,p,q), ^ = ^'{T,y,Z,p,q).
On peut établir que les dérivées secondes R, S, T, de Z par rapport à X et Y, s'expriment en fonction de .r, y^ z et des dérivées premières et secondes de z par rapport à x eiy.
Différent! on s, en effet, les deux premières équations (4); il vienl, comme au n" 105,
ùo do c^cp ào do
(f\= --^dx-^ -v-dy-^ -^(pdx-\~qdy)-h -L(rdx-hsdy)-h -r^isdx-^t dy). àx ôy -^ ôz ' ^ -^ ùp^ -^ ' dq^ -^
De ces relations on tire dx et dy en fonction linéaire et homogène de rfX et e/Y, les coefficients étant fonctions de x, i', r, />, gr, r, 5, t. De même, différenlions les deux équations (4 his) en observant que rfP et rfQ sont respectivement
RrfX-f-SrfY et S ^/X 4- Té/Y; il vient
R d\ -h S rfY = Y- dx -f ;r- dy -^ -^ (p dx-h q dy)
'^'à^ if'^^-^^dy)-\- —isdx-^-tdy).
SrfX-f-TrfY= 3^rfx-r- ....
ox
Remplaçons dx et dy par leurs valeurs calculées tout à l'heure en fonction de ûfX et dY ^ et égalons, dans les deux membres de chaque équation, les coefficients de rfX et de rfY; nous obtenons des relations de la forme
R, S, T = fonctions de x^y, ^^ pi q^ r, 5, /.
