Transformation de Legendre. — C'est la transformation

Los équations (B) sont ici

I d\ = /• (ij^ -h s dy, d\ — s d.r -h f dy, ( cTL =-¥- x{r dx -\- s dy) -^y's d.r -h / dy ).

Joignons-y (A)

dz = p dx -H q dy,

v\ éliminons âfx, dy^ (lz\ il vient

< 7) d7. = xd\-r- yd\\

doit

I^s dérivées secondes r, 5, t ne figurant pas dans P cl Q, la transformation est de contact (*).

Remarque /. — La transformation de Legendre est une irans-

(') Si l'on veut exprimer les dérivées secondes H, S el T, il suflil de diflTc-

rentier (7) en prenant pour variables indépendantes les variables anrionnes

\ el V; on a

d-7. — dx d\ -f- dy d\\

el, en remplaçant dx el dy par leurs valeurs en rfX, d\ tirées des deux premières ê({ualions (6) :

d'Z = - '-, ( d\{td\ -sd\)-¥- d\ {-sd\ H r d\)], rt — X-

d'où

R=^^. s=-::ii^. T= '•

rt — s- rt — *- rt--s-

loG PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

formation par polaires réciproques par rapport au paraboloïde

i5 ^ , If »*,

En effet, le pôle X, Y, Z du plan tangent

par rapport à ce paraboloïde, est défini par

ce qui donne bien, pour X, Y, Z, les valeurs (5). Il est d'aîUeui évident, a priori, que toute transformation par polaires réci proques est une transformation de contact.

Remarque 11. — Dans le plan, y étant fonction de x, la transformation de Lcgendre est

et Ton trouve

C'est encore une transformation de polaires réciproques par rapporta la parabole 2 yi — $2 = 0.

iiO. Transformation de Sophus Lie. — Elle s'écrit sous les deux formes équivalentes :

px-hqy

(9) /' X-tY= l—Jl,

px-^q y

Pour vérifier qu'elle est de contact, calculons P et Q. A cet