CHAPITRE 111. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. I

efiet, selon la règle, difl'érenlions les éqiialions (9') en y remplaçanl de siille dz par [p dx -\- q dy). Les deux premières donnent

( d\ -h i d\ -\- X dL -f- dx{ Z -h /? ) -^ q dy = o^ ^'^^ \ {d\ — id\)x-dL-^dx{\ — iy)^ dy r^o.

11 est inutile de difFérenlier la troisième équation (9'), car les deux relations (10) suffisent pour éliminer rfx et rf;'. En efl'et, multiplions la seconde par — q et ajoutons à la première ; dy disparaît et il reste

{d\-^id\)^qx{d\--idy)-\-dZ{x-\-q)-^dx[Z-\-p — q{\ — i\)\^o,

Je dis que le coefficient de dx est nul : il suffit, pour le voir, d'j remplacer Z et X — /Y par leurs valeurs lirées de (9). Il reste donc

d'où

ce qui prouve bien que la transformation de Lie est de contact.

Remarque, — Inversement, si Ton se donne X, Y, Z, P, Q, on détermine x^y^ 5, p, q comme il suit.

Les équations (i 1) donnent qx el x -\- q^ d^où deux systèmes de valeurs pour x et q; la première équation (9') donne z, la seconde donne y et la troisième />, sans amb'guïlé dès que x et q sont connus. Donc à un élément x, y y z, /?, q correspond, par (9) et(i 1), un seul élément X, Y, Z, P, Q; inversement, à un élément X, Y. Z, P, Q correspondent deux éléments ^,^, :;,

111. Propriété de la transformation de Lie. — Elle change les droites en sphères.

Si, en effet, le point Xy y^ z décrit la droite

(12) y = a X -i- nij z — bx -\- n,

un élément appartenant à la droite sera formé par le point x^ y, z et par un plan de coefficients (/?, q^ — i) passant par ce point et

contenant la droite. On a donc

(i3) p -^^ aq — ^=0,

on exprimant, ce qui suffit, que le plan est parallèle à la droite (12).

Le lieu du point X, Y, Z, c'est-à-dire la surface transformée de la droite, s'obtiendra en éliminant a:, j^, z^p^q entre lés trois équations (9'), les deux équations (12) et l'équation (i3).

Pour faire l'élimination, tirons^, 3 et/7 de (12) et (i 3), en fonction de X et de y, et portons dans les trois équations (9'). Il vient