X-+-iY-f-/i-h:r(Z-i

Il est inutile d'écrire la troisième équation, qui contiendrait q^ car on peut éliminer x entre les deux premières (*). On trouve ainsi

(14 ) X«-+-Y«-f-\(a-+-/i)4-i'Y(a — /i)-hZ*-+-Z(^ — /?i)-ha/i — ^»/w = 0;

équation d'une sphère, et d'une sphère générale, car Téquation dépend effectivement des quatre paramètres a, 6, m et/i.

On voit ainsi qu'à une droite en Xy y^ z correspond une sphère en X, Y, Z; inversement, à une sphère correspondent deux droites : car, se donner la sphère (i4)) c'est se donner a 4-/1, a — n, c'est-à-dire a ei n\ b — //«et bm^ c'est-à-dire deux systèmes de valeurs de b et m. Une des droites se déduit de l'autre en changeant 6 en — //i et //i en — b\ car ce changement n'altère pas b — /n et bm,

112. Applications. — En vertu de la transformation de Lie, la géométrie des systèmes de sphères est ramenée à celle des systèmes de droites, et ce seul énoncé fait comprendre toute l'importance de la proposition ci-dessus. Nous en indiquerons plus

(•) Plus généralement, si x,jry z décrit une courbe,

la surface transformée s'obtient en éliminant j?, y, z cnlrc les deux équations / = o, g' = o et les deux premières équations (9' ).