CHAPITRE III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. IO

lard une conséquence intéressante; bornons-nous ici à quelques remarques.

Soit s une surface réglée, c'est-à-dire admettant une infinité

simple de génératrices reclilignes; à ces génératrices, la trans-

/'ormation de Lie fait correspondre des sphères qui, d'après une

(les remarques du n** 107, touchent, chacune suivant une ligne, la

transformée S de s. Ce résultat s'énonce ainsi :

La transformée d^ une surface réglée est l^ enveloppe (V une série simplement infinie de sphères,

A deux droites qui se coupent correspondent (n** i07) deux sphères tangentes en un point.

Ces deux remarques permettent de transformer la propriélc qii'a rhjperboloïde à une nappe d'admettre deux séries de génératrices rectilignes, telles que les génératrices d'une série rencontrent celles de l'autre; on voit ainsi que :

// existe une surface Y (la transformée de riiyperboloïde) qui est r enveloppe de deux séries simplement infinies de sphères; chaque sphère d^ une série touche chaque sphère de l* autre série.

L'h^perboloïde est le lieu des droites s'appu^'ant sur trois droites fixes; donc

La surface S peut être regardée comme l'enveloppe des sphères qui touchent trois sphères fixes.

La surface S est, comme on le verrait directement, du qna- Irième ordre; on la nomme cyclide de Dupin; nous la retrouverons plus tard.

no PREMIERE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.