X- I- r' -r- 2 À J7 -h 'j. Il y -\- h = o

'm {jl, h étant des constantes arbitraires. Appliquons la métbodc; ^^ a, en dérivant trois fois,

f/f f\ t If rtf

yy -'-'- ^y y -^ v-y ^ ^>-

^ où, en éliminant a entre les deux dernières relations,

)• (1 i >')' -! r - ) — r ( )'K -T- .> )• )' ), ^" cst-à-dire

(]ette équation exprime que le rajon de courbure est conslanl :

(') C<! raisonnement montre que l'équation est au pins d'ordre n\ on %errd, «Idiis le Cours de seconde année, que l'ordre est exaclemenl //, lorsque y dt'pend elFrclivemenl de n constantes arbitraires.

Il'i PREMIERE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

car, en écrivant que la dérivée logariihmique do — '-^ est nulle,

on aurait

116. Équation différentielle des coniques. — La relation entre ^ et j: peut s'écrire

y = ax -\- b -^ ^^ m x^ -h vi /t r -f- /?,

«, 6, m, /î, p étant des constanlcs arbitraires. Dérivons deux fois :

1 -il

y" — ni{ nix^-\- inx -T- P) - —i mx -h n)^(nix^ -i- inx -h p) *,

c'est-à-dire

d'où

(y )~ a = (^ ifip — n^ ) •^{fnx--h inx -^p ).

Trois dérivations successives vont annuler le second membre; Téquation difFérentielle cherchée prend ainsi la forme simple

Dans les paraboles, m=: o^ il suffit donc de deux dérivations pour annuler le second membre et l'équation différentielle des paraboles est

Ces deux équations développées donnent, pour les coniques,

- .ioy"3-+- 4">7> >'^ - i)r''->' = o

pour les paraboles,

^y *— jy y = o.

Remarque, — L'équation dillerentielle des paraboles signifie, géométri(|uemenl, que les tangentes aux courbes diamétrales, aux points où celles-ci coupent la courbe, sont parallèles. En effet, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe diamétrale au