II. — FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

118. On opère d'une manière analogue dans le cas d'une fonction de plusieurs variables indépendantes; si l'on a, par exemple, une fonction z, de x et y, définie par l'équation

(4) /(^»7i -» Cl, Cj, ..., C;,)=o,

on dérivera successivement par rapport à chacune des deux variables indépendantes. Gomme il y a k -i- 1 dérivées partielles d'ordre /:, quand on aura écrit toutes les dérivées de (4) par rapport à ;r et ^jusqu'à l'ordre h inclusivement, on aura en tout

i-h2-t-3-^...-l-(A-M)= -{h-hi){h-\-i)t H. 8

Il4 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

équations, et l'on s'arrêtera dès que ce nombre sera supérieur à n. L'élimination de C|, C2, • . ., Cn conduira alors à

équations aux dérivées partielles (* ) d*ordre A, auxquelles satisfera la fonction 5, quelles que soient les constantes C|, . . . , C/|.

119. Mais, dans le cas des fonctions de plusieurs variables, on peut aller plus loin et éliminer non seulement des constantes. mais Ae^ fonctions arbitraires.

Soit, par exemple, une fonction ^, de x et y^ définie par

OÙ F est une fonction donnée; a, jî, y, ..., À des fonctions données de x, y^ z; et cpi, cpj, . . . , îp« des fonctions arbitraires. L'équation (5) défînit ainsi une infinité de fonctions z ou, géométriquement, une famille de surfaces qui dépend de n fonctions arbitraires.

Pour former une équation aux dérivées partielles vérifiée par^ quelles que soient les fonctions cp^, cp2, . . . , cp,^, dérivons encore la relation (5) par rapport aux deux variables indépendantes x et y. 11 vient :

dF ôF àF , , ^/doL d%\

dF dF

dy-in^-^ = ^^

en posant toujours p = ~; q = '-^' On obtient ainsi deux nouvelles équations, mais on introduit n quantités nouvelles, ^5', , ©2, . . . , cp^,. En dérivant une seconde fois, on ajoutera trois équa tions et toujours n quantités nouvelles, o"^, . . . , '^^ : quand on

( ' ) Une équation différcnliclle aux dérivées partielles est une relation entre des variables indépendantes x, y^ . . ., une fonction z de ces variables, et les dérivées partielles de z par rapport k x. y^ L'ordre d'une telle équation est celui de

la dérivée partielle de z d'ordre le plus élevé qui y figure; ainsi 5 — ^— = z e«t

ox ôy une équation du second ordre.