CHAPITRE iV. — FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

aura pris toutes les dérivées de (5) jusqu'à Tordre h (inclusivement), on aura en tout

I -+- 2 -h. . .-4-(A -+- 1 )= - ( A -h 1 ) ( // -;- 2 ) équations, entre lesquelles il faudra éliminer

' soit en tout /î(A-f-i) quantités. Donc, lorsque h sera pris assez grand (ce qui est toujours possible) pour que Ton ait

Télimination pourra se faire (*), et l'on obtiendra ainsi

équations aux dérivées partielles d'ordre h (^), vérifiées par la fonction z^ quelles que soient les fonctions arbitraires cp.

120. Exemple I. — Equation aux dérivées partielles des cylindres dont les génératrices sont parallèles à la direction

X = az, y — hz.

L'équalion cartésienne de ces cylindres est, comme on sait,

o étant une fonction arbitraire; pour former une équation aux dérivées partielles vérifiée par z, dérivons la relation (6), selon la niélhode générale, par rapport aux variables indépendantes X ely :

— aq =(i — bq)o\

d'où, en éliminant '^',

(i — ap)(i — hq ) = abpg,

( ' ) Il suffit de prendre h tel que (/t 4- i) (/i — 2 — 2/ij> o. c'est-à-dire A = 2/1 — I, et le nombre des équations aux dérivées partielles est n. Il est possible d'ailleurs qu'on puisse faire Télimination des fonctions arbitraires avec moins de dérivations.

{') L ordre peut être inférieur à h.

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

e'est-à-dîre

ap -\- bq — i = o {^),

121. Exemple II. — Équation aux dérivées partielles des cônes de sommet donné, a, 6, c.

L'équation cartésienne de ces cônes est

Dérivons par rapport k x e\.y :

p{x — a^—{z — c) y — b , (37 — a)» """" (ar — a)»^'

— - — = tp ,

X — a X — a * d*oii, en éliminant f',

122. Exemple III. — Équation aux dérivées partielles des fonctions homogènes.

Une fonction homogène, ^, de deux variables x et y^ el d'ordre m, est définie par la relation

z = xfno(î.\

où ç est une fonction arbitraire. Dérivons encore par rapport à x

ety :

p = nix'^-^^ — ^'^~^y^'',

d'où, en éliminant cp et <p',

c'est-à-dire

m 5 = px -\- qy.

(') Cette équation exprime que le plan tangent à la surface au point ar, y^ 5, plan dont les coefficients ( n® 48 ) sont p^q^^x^ est parallèle à la direction a, 6, i des génératrices; on aurait donc pu Técrire directement.

(') Cette équation exprime que le plan tangent au point x^y^z^ c'est-à-dire le plan /?(X — x)-T-^(Y— ^) — (Z — ^) = o, passe par le point a, 6, c.