CHAPITRE IV. — FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. II

123. Exemple IV. — Équation aux dérivées partielles des surfaces réglées dont les génératrices rencontrent l'axe des z.

Une droite rencontrant O^ a pour équations

pour qu'elle engendre une surface, il faut que m, a, b soient fonctions d*un même paramètre, c'est-à-dire que a et b soient des fonctions de 7n;/(m) et cp(/w). L'équation de la surface engendrée est alors

Pour former une équation vérifiée par 5, quelles que soient les fonctions/ et cp, dérivons par rapport à a: et ^ :

d'où, en éliminant x/'-\- cp',

(8) ^^yj=/(j).

La fonction ç a disparu (*); il reste à faire disparaître f. Dérivons encore (8) par rapport à x et y (^); nous obtenons

(<) L'éqaatioQ (8) exprime que le plan tangent à la surface au point Xy y^ z

(n* 48) est parallèle à la direction qui a pour paramétres directeurs i, — >

fl — J> c'est-à-dire i, m, a. En d'autres termes elle exprime que ce plan est parallèle à la génératrice de la surface qui passe par le point de contact, ce que ron savait a priori, puisque le plan contient la génératrice. On aurait donc pu écrire (8) directement.

(*) On pose, comme d'habitude,

" dx^* " âxdy* " ôy^

Il8 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Lliminons enfin/' entre ces deux relations; il vient

rx^-h lisxy -h tj'^ = o;

c'est l'équation cherchée.

On aurait pu l'obtenir autrement; en effet, Téquation (7) montre que, si Ton prend pour variables indépendantes x = u

et - = r, à la place de x et y, on a

quelles que soient les fonctions /*et o. Transformons cette équation différentielle en revenant aux variables x et r ; la formule (8) du n® 96 nous donne

L'équation différentielle est donc bien

rrr'-r o^sxy -^ ty^= o.

124. Élimination des fonctions arbitraires dans le cas de plusieurs équations. — Si l'on a, par exemple, deux fonctions, z et /, de deux variables indépendantes x^ y définies par deux équations contenant n fonctions arbitraires, '^<, ..., Ç;, (*), pour former une équation différentielle à laquelle satisfasse :;, quelles que soient les fonctions o/, on prendra encore les dérivées partielles, par rapport à x ely^ des deux équations données jusqu'à l'ordre h inclus : on aura ainsi en tout

équations, entre lesquelles on éliminera : 1° les /i fonctions o et leurs dérivées cp'^, . . ., çj^, . . ., ^^^\ . . ., cp)^^^ jusqu'à l'ordre A, soil /i(A-+-i) quantités; 2° la fonction t et ses dérivées partielles

(*) Comme plus haut, les 9,, ..., 9^ sont des fonctions arbitraires respectivement de n quantités 2, ^, . . , X, qui elles-mêmes sont des fonctions données de ^1 yi ^1 i't ainsi