CHAPITRE IV. — FORMATION DKS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. II

jusqu^à Tordre A, soit - (h -\- i) (h -h 2) quantités. On devra donc prendre h assez grand pour que

ce qui est toujours possible (voir le n" H9).

Un cas particulier intéressant est celui où cp,, cpa, .... 'f/i sont des fondions arbitraires delà seconde fonction ty seule. Dans cet ordre d'idées, on se bornera à indiquer deux exemples; le cas plus général donnerait lieu à des calculs analogues.

125. Exemple I. — Équation aux dérivées partielles des sur/aces réglées. — Les équations d'une droite étant

celle droite engendrera une surface si a, 6, a, ^ sont des fonctions d'un paramètre t. Les deux équations (9) définissent alors 3 et / comme fonctions des deux variables indépendantes x et y^ et Ton demande de former l'équation aux dérivées partielles que vérifie z^ quelles que soient les fonctions a, p, r/, 6, de t.

A cet effet, dérivons successivement, par rapport aux variables indépendantes a: ci y^ les équations (y); nous obtenons

\ ày ' dy

en désignant par a', b\ a', ,3' les dérivées de a, 6, a, p par rapport à t.

Entre les deux équations (9') éliminons (a'>s-f-a'); il vient

^ àz ldt\ (10) 11^=W.

<fy \ày)

lao PREMIERE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

De même les deux équations (9") donnent

dz / dt\

ày \ày)

d'où, par élimination du quotient ;p I ;v-»

(à^\ / f C-3 \ , oz oz

àz\ __ ,dzdz àj'J "" âx ôp

c'est-à-dire

/ \ dz ,dz

(il) a- hb- — 1-1=0.

ox Of

Cette équation n'est pas l'équation différentielle en z cherchée, puisqu'elle contient encore les fonctions arbitraires a et 6, de ^; pour obtenir une nouvelle relation, dérivons-la par rapport aux variables indépendantes :r, y] il vient

d^z , â^z ( ,àz ,,âz\ dt

a«z â^z ( dz âz

àyi \ àx dy) dy '

dx dy

d'où, en éliminant a' ^ — h 6' -r- > ' ox dy

d^z d*z /dt^\

^dx^ "^ dxdjr ^ \dx/

^dxdy dy^ \dy/

Or, en vertu de (10), puis de (i i),

/dt^\ dz

\dx/ dx b

/ dt\ "~ dz ~~"~ a

On a ainsi, en portant cette valeur dans (i i'),

nouvelle équation qui contient encore a et b. Les quatre équations (9), (11), (i3) ne suffisent pas pour éliminer a, 6, a, P; il