CHAPITRE IV. — FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
faiil une relation de plus, que nous obtiendrons de la même manière, en dérivant (i3) par rapport k x ely :
dar' ox^ oy ox oy^ Ox
, d^z , d^z ,, d^z -. ai
ôx^ oy ox ây^ oy^ oy
M désignant la dérivée, par rapport à ^, du premier membre de (i3); on en conclut, en éliminant M et en recourant encore à Péquation (12) :
dx^ àx^ây dxdy^ V^*^/ ^
. â^z , (^3<5 ,.<^^^ /àf\ a
q* , , , — h2«6- — :— . -ho'-— r ( T- I dx' aj^ dx oy* oy* \^y /
ce qui s'écrit
et l'équation cherchée s'obtiendra en éliminant le rapport t entre (i3)et(i4)
126. Remarque. — On aurait pu arriver plus simplement à ce résultat. On a en effet, sur la surface réglée, quelles que soient les variables indépendantes choisies (n" 42),
d*z = r dx* -^ %$ dx dy -\- 1 dy* -+- p d'^x H- q d^y^ et, par une nouvelle différentiation :
d^z = T-î ctr'-h 3 ^ ^ ^ e/a?* c?r -+- 3 t— ^-i ^^ dy*-^ T-i ^^' dar» dX'dy -^ dxây* '^ dy^ '^
-+- 3r dxd^x -h 35(rf*arflÇ^-h dxd*y)-h Ztdyd'^y -\- pd*x -^ çcPy»
Appliquons ces formules au cas où l'on se déplace, à partir d'un point quelconque, Xq, y^^ Zq^ de la surface réglée, sur la génératrice rectiligne qui passe par ce point : il n'y a plus alors qu'une seule variable indépendante, x par exemple;^ et>s sont des fonctions de x^ et les deux équations précédentes fournissent encore les valeurs correspondantes derf^s et e/'>s, pourvu qu'on remplace, dans les seconds membres, d^x et d^x par zéro, et dy^ d'^y^ d^y par leurs valeurs en fonction de dx.
122 PREMIERK PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.
Or, sur la généralrice considérée, y et z sont des fonctions linéaires de ;r, de la forme mx-r-n et m'x-hn', de sorle que rf\y, d^Zy rf'j', d^ z sont nuls, puisque, par hjpotlièse, d'-^x et d^x le sonl. Les équations ci-dessus, qui donnent d'^ z et d^z deviennent alors :
o — /• dx"^ -+-2 5 dx dy h- / dy^^
o = ~ d.c^ -+- 3 , , , dx^ dy -h3 - — .^ dx dy^ -^ ^ cÇv», ôx^ dx'dy -^ Oxf)y^ -^ ày^ ^ '
et elles doivent être vérifiées simultanément, en tout point
^oj yoi ^0 de la surface réglée, pour une valeur convenable du
dv rapport -y-« L'élimination de ce rapport conduit donc à une équation entre les dérivées secondes et troisièmes de z^ vérifiée en tout point de loule surface réglée, et l'on retombe ainsi sur la conclusion du numéro précédent.
127. Exemple II. — Equation aux dérivées partielles des surfaces développables, — On nomme surface développable l'enveloppe d'un plan mobile dont les coefficients dépendent d^un seul paramètre t. L'équation du plan mobile étant
(i5> 3 = a j? -h ôj -+- c,
oïl a, 6, c sont des fonctions de ^, l'équation de la surface s'obtiendra en éliminant / entre la relation (i5)et sa dérivée par rappori
(iG) o = a' X -r-b'y -^ c'.
Les deux équations (i5) et (i(S) définissent .s et ^ comme fonctions des variables indépendantes x Qly\ pour former l'équation différentielle en ;;, dérivons-les par rapport à a: et y. Il vient, en dérivant (i5).
— o, Ox
\ — -r ha-^(aa:-H o y -+- c ;
t)y ^ Oy
(' ) On reviendra sur ce point dans la théorie des enveloppes de surlaces.
