CHAPITRE V. — SÉRIES

En d'autres termes, si une série converge on peut, étant donnée une quantité e aussi petite qu'on veut, assigner un nombre n tel que l'on ait, quel que soit l'entier positif/?,

moà{sn-hp — *«)< s; ce qu'on écrit aussi :

mod ( M/i-Hi -+- Un-^x -i- . . . -f- Un-k-p )< E-

La réciproque de cette proposition est vraie, c'est-à-dire que, si l'on peut ainsi déterminer /i, la série proposée converge : nous ne donnerons pas la démonstration, qui est assez longue, mais n'offre aucune difficulté. Nous n'aurons d'ailleurs pas besoin de cette réciproque.

129. Conséquences immédiates de la déûnition. — i° Pour qu!une série converge, il est nécessaire que le terme général tende vers zéro, car

et les inégalités nécessaires

mod(5;i+p — S)< - £, mod(5/i+p— t — S)<C 7 £>

entraînent, comme au n"^ 128,

Inodart^.p= mod[(j«H p— S) — {sa-^-p^i— S)]< s.

2® Une série à termes positifs, pour laquelle les sommes S\i s^t -"y Sn'i ... restent inférieures, quel que soit n, à un nombre fixe M, est convergente.

Car une quantité variable Sn^ qui croit constamment sans pouvoir dépasser un nombre fixe M, a une limite.

3° Une série à termes positif s dont les termes sont inférieurs ou égaux aux termes de même rang d^une série convergente à termes positifs est convergente.

Car, si M est la somme de la seconde série, les sommes 5|, 5j, ..., Sni prises dans la première, sont évidemment inférieures à M.

4" Une série à termes positifs et négatifs converge si la série des valeurs absolues de ses termes converge.

Car si Sp el — Sq sont les sommes des p termes positifs et des a = n — p termes négatifs, compris dans les n premiers termes de la proposée, l'hypothèse est que Sp -f- Sq a une limite finie L. Il en résulte que Sp et Sg ont séparément des limites finies A et B, puisque chacune de ces quantités croît en demeurant inférieure à L. Or

5/1 = Jp Sg^

d'où

lim5n= lim(>;,— ^q)— lim^p— lim5<7= A — B,

ce qui montre que la proposée converge et a pour somme A — B. La réciproque n'est pas vraie, c'est-à-dire que la proposée peut converger sans que la série des valeurs absolues converge. Un exemple, classique dans les Cours d'Algèbre, est celui de la

série harmonique alternée i {-^ — 7"^"---» 9^^ converge,

alors que la série harmonique i -;- - -]- , -+- 7 -r- • diverge.

5" Si i^on multiplie par des nombres positifs ou négatifs, compris entre deux limites m et M, les termes d*une série convergente, w<-}-«24-. • -4- w,i+. . ., à termes positifs, on obtient une nouvelle série convergente, a^Ui-\-. . .-\- anUn-^- "\ et la série des valeurs absolues des termes converge également.

Car, si UL est la plus grande des quantités mod/n et modM, on a

Les termes de la nouvelle série sont ainsi, en valeur absolue, inférieurs aux termes de même rang de la série convergente à

termes positifs ;/.(</ ,-{-.. .-f- w,, 4-. • •)> '^ série 2mod(a,|W;,) est donc convergente (3*^) et il en est de même de la série ^an u„ (4").

(y* Soient deux séries convergentes, de sommes S et S' : (S'j u\-h u'^-i-. . .-h u,i-h. . ..

CHAPITHE V. — SERIES. 1/7

Considérons la série

< S" ) ( W, -f- m'i ) -h ( M, — Wj )-+-...-+-( M„ -f- ul^ ) -h

On a d'où

Sfi — 5/1 . S/i j

La série (S'') est donc convergente et a pour somme S-|-S'^ c'est-à-dire qu'en ajoutant terme à terme des séries convergentes en nombre Ji ni ^ on obtient une série convergente égale à leur somme.

7^ Soit une série S à termes positifs^ W| -!-. • .4- ^/«-h

Groupons autrement les termes sans changer leur ordre; nous obtenons une série S' :

Si S' converge, S converge également et a même somme, car la somme d^in nombre quelconque de termes consécutifs de S (à partir de //|) est égale à la somme de termes consécutifs de S', plus une fraction du terme suivant de S' : ce terme tendant vers zéro, puis(|iie S' converge, la proposition est établie.

Séries à termes positifs.

130. Les principales propriétés des séries à termes positifs, et notamment les règles de convergence les plus importantes, ont été établies dans le Cours de Mathématiques spéciales; on se bornera ici à quelques indications rapides.

r* Lorsqu'une série à termes positifs converge, on peut^ sans changer ni la convergence ni la somme de la série, y modifier arbitrairement l'ordre des termes.

Soient en effet s,i et s]^ les sommes des n premiers termes dans la série proposée et dans la série modifiée; S la somme de la proposée. Il est clair que 5^,<cS, et par suite la série modifiée converge (n" 129, 2'*) et a une somme, S', évidemment telle que S'i S. De même ou a Sn << S', et par suite S ^ S'.

Donc, par comparaison,

2® Règles principales de convergence, — On se contentera de les rappeler, en renvoyant au Cours de Mathématiques spéciales pour les démonstralions.

Si, à partir d'un certain rang, le produit n^Un est compris entre deux nombres fixes, la série est convergente pour a> i; divergente pour a < i .

Si, à partir d'un certain rang, le rapport e/„^« : Un reste inférieur à un nombre fixe plus petit que r unité, la série converge; si ce rapport reste supérieur à un nombre fixe, plus grand que l'unité, la série diverge.

Si, à partir d'un certain rang, l'expression sjun reste inférieure à un nombre fixe plus petit que l'unité, la série converge; si cette expression reste supérieure à un nombre fixe plus grand que l' unité, la série diverge.

Séries à termes imaginaires,

131. Une série W| -i- Wj-t-...-!- w,|-h. •» où Un=^ an-{- ib„ est dite convergente si les deux séries

dl -T- ÛTj -+- . . . -f- rt«~4- • • . ) bi-r- bi-+- . . .-+- 6/4-+-. . .

sont convergenles; la somme de la proposée est, par définition,

Sa/, H- i^bff

Une série est dite absolument convergente si la série des modules de ses termes

est convergente. Celte déGnition s'applique aussi aux séries réelles à termes positifs et négatifs, le module étant alors, comme d'ordinaire, la valeur absolue du terme.

Quand la série des modules converge, la proposée converge