CHAPITRE V. — SÉRIES. I

également, et même les séries S«„ et Sft^ sont absolument convergentes. Ecrivons, en efTct,

la série à termes positifs Sp,i étant convergente, les séries So„cosc5„ et "ZznSiïï'^n sont absolument convergentes (n° 129, 5°) puisque cos^/i et sin'^/2 sont compris enlre — i et -+■ i. c. q. f. d.

132. Théorème. — On n^ altère pas la valeur d^une série absolument convergente en changeant Vordre de ses termes.

Démontrons-le d'abord pour une série à termes réels.

La série des valeurs absolues des termes étant convergente, la série des termes positifs et celle des termes négatifs sont séparément convergentes (n° 129, 4°)> ^t de plus si A et — B sont leurs sommes respectives, la proposée a pour somme A — B [ibid.). Or, si l'on modifie Tordre des termes, la série des termes positifs a toujours pour somme A (n** 130, i°); de même celle des termes négatifs a toujours pour somme — B, et par suite la somme de la série modifiée est toujours A — B.

Considérons maintenant une série absolument convergente de terme général imaginaire, w,/= Gr« -f- /fr^ ; on a vu (n**131) que les deux séries Sa„ et ^bn convergent absolument : si donc M et N sont leurs sommes, ces sommes sont indépendantes de l'ordre des termes, comme on vient de l'établir, et la proposée a pour somme

2 a„ -h £ 2 bn = M -H N /, quel que soit l'ordre des termes. c. q. f. d.

Corollaires. — i° Si une série est absolument convergente on peut, sans changer sa valeur, grouper les termes à volonté. Par exemple, la série

Wl -+- ( Wj -+- "0 "^ ( "3 -+- "3 -+- "7 ) -+- ( Wô -+- "d 4- Mj -h Ml 1 ) -f- . . .

a même somme que U\ + «2 H- ^/.i + ....

Car, si les termes sont réels, on a, en désignant par Sp et — Sq les sommes des termes positifs et des termes négatifs de la proposée qui figurent dans les n premiers termes de la série nouvelle, H. Q

r3o PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et en appelant s'„ la somme de ces n premiers termes,

d'où

Wms'fi = Iim5,, — Iini5^= A — B,

quel que soit Tordre dans lequel se présentent les termes des sommes Sp et Sq,

Si les termes sont imaginaires, ce raisonnement s^appliqiie séparément aux séries absolument convergentes formées par les parties réelles et par les parties imaginaires des termes, el par suite à la série totale.

2** Inversement, si Ton décompose le terme général d'une série :

Un = ll'n -h mJ, -^ . . . ,

et si la nouvelle série

u\ -+- a J -h . . . -4- «j -î- w'j -h . . . -i- // Ji -h u\ -}-...

est absolument convergente, elle a même valeur que Tancienne : car, en vertu du corollaire précédent, on peut grouper les termes en

ce qui redonne la série primitive.

133. Multiplication de deux séries absolument convergentes. — Si deux séries

de sommes S et T, sont absolument convergentes, la série ^UpVq, formée par les produits deux à deux de leurs termes, écrits dans un ordre quelconque, est absolument convergente et a pour somme ST.

Posons en efiet

$/!'=■ ll\ -+- // 3 -r- . . . -\- li ri ,

et prenons dans la nouvelle série, ^UpVg^ un nombre quel-