CHAPITRE V. — SERIES. l3l

conque, m, de termes, assez grand toutefois pour contenir tous les termes du produit Sntn- Soit S'^ la somme des termes employés; on a

a et P (et de même y, 5; ..., )., |jl) désignant deux indices, dont Tun au moins est supérieur à n. Si maintenant Ua et V^ sont les modules de u^ et i^'a, on aura

et, a fortiori, en désignant par n -{- p \e plus grand des indices *j pi • • •> î*>

inod(S;„— 5«/«)= (U,-+-Uj-h...-hU,i H/>)(Vn-H,-4-...-t-V„4-/.)

-+- ( Vi -+- V, -f- . . . -h V„H,, ) ( U„4-i H- . . . -+- U„+,, )•

Cela posé, faisons tendre m, et par suite n vers rinfini; U| 4- . . . H- ^n+p et V| 4- . . . + V/,+^ tendent vers S et T ; Un+i + . . . + U/,+;, et V;,+< + . . . 4- V;,^;, tcudcnt vers zéro, quel que soit />, en vertu de la convergence admise des séries SUn et SV/j (n** 128); par suite on aura, si m est pris assez grand,

e étant aussi petit qu^on veut. Donc £^ a pour limite celle de Sntni c'est-à-dire ST, quel que soit l'ordre des termes.

On peut établir que le théorème est encore vrai si {s) est absolument et {t) simplement convergente.

134. Une série est dite semi-convergente si elle converge et si la série des modules de ses termes diverge.

Exemple : la série réelle i f-ô — 74-....

Ja \J 1^

Si une série à termes tous réels est semi-convergente, je dis : i^ qu'elle contient des termes positifs et des termes négatifs en nombre infini; 2® que la série des termes positifs et celle des termes négatifs ont séparément des sommes infinies; il suffit évidemment de démontrer le second point.

Soient, en effet, Sp et — Sq les sommes des/? termes positifs cl

l3'2 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

des (j = n — p termes négatifs compris dans les n premiers termes de la proposées; on a, en désignant par Sn et S^ la somme des n premiers termes de s et de la série S des modules,

d'où

Sn — Sp — S,fj

Sp — ~ ( ^/»"+" ^/i )» S(f — --(o/i — ^11 }«

Lorsque n augmente indéfiniment, Sn a une limite finie, puisque la proposée converge; Sn tend vers Tinfini, puisque la série des modules (à termes positifs) diverge; donc Sp et 5^ croissent au delà de toute limite, c'est-à-dire que la série des termes positifs et celle des termes négatifs divergent toutes deux.

135. Théorème. — On peut donner une infinité de valeurs à une série semi-convergente {réelle ou imaginaire) en y changeant l'ordre des termes.

Soit

une telle série; on a, pour le terme général,

Posons

mod Un = Un, mod a» = A«, mod bn = B».

11 est évident que

et puisque, par hypothèse, la série 2U,i diverge, il en est de même, a fortiori, de S(Ay, + B„); ceci exige que l'une des séries I A;j ou 2B„ diverge, car si elles convergeaient toutes deux, iI(A„4-B,i) convergerait (n** 129, 6°). Supposons, par exemple, que SA,| soit divergente; comme 2a,i converge, en vertu de la définition même de la convergence de 5, celte série, Sa^, est semi-convergente. Elle a, par suite (n® 134), des termes positifs

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