D'UNE VARIABLE

136. Convergence uniforme. — Soit une série ( S ) wi -f- «î -h . . . ,

donl les termes sont des fonctions d'une même variable réelle x. Si elle converge pour la valeur x de cette variable, on pourra prendre N assez grand pour que l'expression

l34 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ait son module inférieur à e, pour toute valeur de n égale ou supérieure à N (*); ce nombre N sera, en général, une fonction de x cl de e.

Supposons que la série converge pour toutes les valeurs de x comprises entre a et 6; on dit qu'elle est uniformément con- \fergente dans cet intervalle lorsque, étant donné e aussi petit qu'on veut, on peut assigner un nombre N, tel que Ton ait

mod Brt(ir) < s,

pour toutes les valeurs de n supérieures ou égales à N, et pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b.

En d'autres termes, et c'est là le point capital, le nombre N ne doit dépendre que de e, et non de Xj si Ton veut que la série soit uniformément convergente entre a et b,

137. Remarque I* — Un raisonnement superficiel pourrait faire croire que toute série convergente, quand j; est compris entre a et 6, est uniformément convergente dans cet intervalle. En effet, puisque la série converge pour la valeur x, il existe un nombre N, fonction de x et de e, tel que modRrt(^)<; e, lorsque /i^N. Soit N(e) le plus grand de tous les nombres N(^, e) obtenus en laissant e fixe et en faisant varier x entre a et 6 ; on aura évidemment, quel que soit^ dans cet intervalle, niodR„(j?)<;e, lorsque /i^N(e). Le nombre N(e) ne dépendant que de e, il semble ainsi que la série soit uniformément convergente; mais ce raisonnement est faux parce qu'il suppose que parmi les quantités N(a:, c), en nombre illimité, qu'on obtient en laissant e fixe et en faisant varier x entre a et 6,

(') Car on a vu ( n<* 128) que Ton peut assigner N tel que

niod ( Mx^i + . . . 4- ity^p ) < ^ ,

quel que soit /?; en particulier, si /* est supérieur à N,

mod ( u^^^^ +. . . + ^^ )< , d'où

mod ( M/i+i-i-...4- u^^^p ) = mod [( Mjj 4.1 -*-.•• -+- «n-h;, ) — ( "n^-i -h.. H- !/„)]< a ^ = f ; c*est-à-dire, puisque /? est aussi grand que l'on veut, modR„<e.