CHAPITRE V. — SÉRIES. l

il j en a une, finie, qui est supérieure à toutes les autres, ou encore que ces quantités ont une limite supérieure finie (*).

D^ailleurs, il est aisé de donner un exemple simple de série "On uniformément convergente. Soit, par exemple, la série (dont ^'liaque terme est entre crochets) :

^>ù l'on a pose

Klle converge quel que soitx. En efiet, poura: = o, tous les termes sont nuls; pour x différent de zéro, l'exponentielle {x^-^- i)", à i'ase plus grande que i , est, comme on sait, infiniment grande par rapporta n — i, lorsque n augmente indéfiniment; il en résulte (|uey(n) tend vers zéro, et l'on en conclut immédiatement que lit série proposée converge et a pour somme /"(a), c'est-à-dire

—5 En particulier, elle converge quand x est compris dans

lia intervalle qui contient o, l'intervalle de o à 1 par exemple; je (lis qu'elle n'est pas uniformément convergente dans cet intervalle. On a, en effet,

et je dis qu'il est impossible d'assigner un nombre N, fonction de e seul, tel qu'on ail, pour /i^N et pour x compris entre oet i :

nx

ix^-T-iy-^^

(') Il peut arriver, en efTet, que des quantités en nombre illimité, et qui sont toutes finies, n'aient pas de limite supérieure finie. Soit, par exemple, N(j:) un nombre tel que N(o) soit nul et que N(j:), pour 27 > o, soit égal au plus grand

entier contenu dans - ; les nombres N(a:) sont tous finis, quel que soit x, mais

iront pas de limite supérieure, car on peut toujours prendre x assez petit pour que -y et, par suite, N(.2;), dépasse toute quantité donnée.

l36 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En effet, cette inégalité devant être véiifîée si petite que soit la valeur positive de jr, le serait en particulier pour x= -pz; de sorte

qu'on aurait, pour toutes les valeurs de n supérieures à N,

ce qui est impossible, puisque, si Ton fait croître n indéfiniment,

le premier membre tend vers —, c'est-à-dire augmente indéfini-

ment. La série proposée n'est donc pas uniformément convergente entre o et i et, plus généralement, dans tout intervalle qui contient o.

138. Remarque II. — Une série étant donnée, il est en général difficile de reconnaître si elle est, ou non, uniformément convergente, puisqu'on ne peut obtenir que dans des cas exceptionnels soit l'expression de Rn{x)j soit même une limite supérieure du module de cette qdantité.

Cependant, on pourra toujours affirmer que la série est uniformément convergente, dans un intervalle ab^ si ses termes, à partir d'un certain rang et pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, sont constamment inférieurs, en valeur absolue, aux termes d'une série à termes positifs, convergente et numérique, c'est-à-dire dont les termes ne contiennent pas la variable X.

On a, en effet, en désignant par R/i(^) et p,i la somme des termes qui suivent le n'^"* dans les deux séries

modR«<p,,,

et l'on peut prendre N assez grand pour que p/< (et par suite modR^) soit inférieur à e, dès que /i^N, puisque la série de comparaison est convergente. Cette série étant d'ailleurs numérique, le nombre N ainsi déterminé ne dépend que de e, ce qui démontre la proposition.

Cette remarque est d'une fréquente application.

139. C'est dans le Calcul intégral et la Théorie des fonctions