CHAPITRE V. — SÉRIES. iSj

d'une variable Jmagînaire qu'on verra riinporlance de la notion de convergence uniforme. Nous ne sommes pas encore en mesure de l'étendre aux séries dont les termes sont fonctions d'une variable imaginaire, puisque nous n'avons pas encore défini ces fonctions; toutefois, si z = a: -^-y i, on sait ce que représente z" lorsque n est entier, car, par la formule du binôme,

Dès lors, on sait ce qu'il faut entendre par une série de la forme

z et les coefficients «oj «^ •-. (lesquels sont indépendants de <3) étant réels ou imaginaires.

On dira que cette série est uniformément convergente pour les valeurs de z comprises dans une région, R, du plan lorsque, étant donné e, on pourra trouver un nombre N, fonction de e seul, lel qu'on ait

pour toutes les valeurs de /i^N et pour toutes les valeurs de z^ ou X -\-yi^ dont Vaffixe (c'est-à-dire le point de coordonnées oc^y) esl situé dans la région R.

1-40. Remarque. — Soient A,, et p les modules de a„ et de z\ si le terme général de la série des modules, A„p", reste inférieur, j>our p compris entre p© etpi, au terme général d'une série numérique convergente à termes positifs, la série des modules esl uniformément convergente dans l'intervalle de po à pi (Remarque II, 11® 138). Je dis que la série proposée. Sa,, 5", est alors uniformément convergente dans la couronne comprise entre deux cercles aj'ant pour centre commun l'origine, et p© et pi pour rajons; car, par hypothèse,

pour /i^N(£), et pour po< ? <C ?i« Donc, a fortiori, pour /i^N(e), et pour po < ïnod:; << p,. c. <^. f. n.

Les séries a©-!- «i ^ -+-. • •+ «,, s"-f- ... se nomment séries de puissances ; elles jouissent de propriétés importantes qu'on va exposer.

Séries de puissances.