Cercle de convergence. — Soit la série de puissances

(S) ao-hai-5 -h. ..-4-rt«-5«-+-.. .;

désignons toujours par p et A,, les modules de z et de a^, la série (les modules est

Ao -+- A 1 p -h . . . -f- A,| p" H- . . . .

Admettons qu'on puisse donner à p une valeur (non nulle) telle que A/ip" ne croisse pas indéfiniment avec n; pour des valeurs plus petites de p, la même condition sera satisfaite a fortiori; il en résulte que les valeurs de p, pour lesquelles A^p" ne croît pas indéfiniment avec /i, sont celles qui restent comprises entre o ei une limite supérieure, R, qui, d^ailleurs, peut être infinie.

Dès lors, pour p < R, A;,p" ne croît pas indéfiniment avec n; pour p>R, A„p" croît indéfiniment; pour p =R, il y a doute.

Voici des exemples.

1° Série i4---f- — -T-...-h^^ — h Il est clair que, pour p ]> i,

Qfl

le terme général—^ de la série des modules, devient infini pour

/* infini; pour p<i, il devient nul. Donc R=i, et d'ailleurs,

pour p = 1, le terme ^ tend vers zéro quand n tend vers l'infini.

2° Série i -f- 5 4- 25-4-. . .-{- /is^-f- Le terme np" croît

indéfiniment avec n si p^i, et tend vers zéro si p<i. Donc encore R = i; pour p = i, le terme /ip'* croît indéfiniment avec /i.

Le cercle décrit de l'origine des coordonnées, O, comme centre avec le rayon R se nomme cercle de con\^ergence de la série (S), en raison des propriétés suivantes :