CHAPITRE V. — SÉRIES. iSq

f^enic à V intérieur du cercle de convergence; 2® uniformément convergente dans tout cercle intérieur au premier.

Soient, en efl'et, x^y les coordonnées d'un point intérieur au cercle de convergence; la valeur correspondante de z est j: -h.y/, el son module, p, est, d'après Thypothèse, inférieur à R. Désii;nons par R' un nombre compris entre p et R; on a

<»r, par hypothèse, A„R'" ne croît pas indéfiniment avec /i, c'està-dire reste, quel que soit /i, inférieur à une limite M; donc

Par suite, le terme général de la série des modules est inférieur au terme de même rang d'une progression géométrique, dont

la raison ^ est inférieure à l'unité, puisque R' est supposé supérieur à p. La série des modules est donc convergente, ou, si l'on veut, la série (S) est absolument convergente dans le cercle considéré, c'est-à-dire pour les valeurs x-^yi^ de z^ telles que le point de coordonnées x, y soit intérieur à ce cercle.

Reste à établir que la convergence est uniforme. Nous allons montrer qu'elle l'est lorsque z reste à l'intérieur d'un cercle, de même centre, O, et de rayon R", plus petit que R, mais aussi voisin de R qu'on veut.

On a en effet, comme plus haut, en désignant par R'un nombre compris entre R" et R,

A„p«<IVW^,j Cl a fortiori <^H^') '

puisque, par hypothèse, p <[ R". Le module du terme général

de la proposée reste donc inférieur au terme, Mf -rp j » d'une série

numérique (progression géométrique) convergente, pour toutes les valeurs de p inférieures à R"; par suite (Remarque du n'*140) la série primitive (S) est uniformément convergente à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon R". c. v>. f. d.

Remarques. — i® Si le point z est à rextérieiir du cercle de convergence, la série (S) est divergente, car on a vu que, pour p>>R, le module du terme général croît avec n au delà de toute limite (n° 141).

2" Sur le cercle de convergence, la série peul converger on diverger. Par exemple, la série

IH ! h. ..H h...,

dont le cercle de convergence (n** 141) a Tunité pour rayon, diverge pour z = i (série harmonique), et converge pour z^ — i (série harmonique alternée).

3" Le rajon du cercle de convergence peut être nul; comme, par exemple, pour la série

car c'est seulement pour p = o que le terme i . a. . . /i p" ne croît pas indéfiniment avec n,

143. Théorème II. — Les séries (S), (S"), . .., obtenues en prenant Ivs dérivées successives des termes de la série (S), ont même cercle de convergence que celle-ci.

Il suffit de le démontrer pour la série (S') : (S') ai-\-iaiZ -h, , .-^ na„z'*-^-\-. . .,

c'est-à-dire d'établir que Je module, /iA,;p'*~*, du terme général, croît indéfiniment avec /i, si p > K, et reste, au contraire, fini si p < R.

Soit d'abord p > R ; on peut écrire

et les deux facteurs du second membre augmentent indéfiniment avec /i, car pour p >- R, A^p" tend vers l'infini (n** 141).

Soit p<;R; on a, en désignant par R' un nombre compris entre p et R, et en se rappelant que A,,R'" reste, quel que soit «, inférieur à un nombre fixe, M,

«A„?'.-.^-^'(jJ,)"(A„H"M<M^^(f-,