CHAPITRE V. — SERIES. I4I

Or, le produit - (—,) Icnd vers zéro, pour /j =00, si p<; IV, comme

oqIc voit en prenant les logarithmes népériens (*); le module du terme général reste donc fini. c. q. f. d.

lii. Théorème III. — La série de puissances (S) est une fonction continue de la variable z dans le cercle de convergence.

On dit que la série de puissances f{z) est continue pour z = ^o lorsque, étant donnée une quantité e aussi petite qu'on veut, on peut assigner un nombre positif r, tel que Ton ait

pour toutes les valeurs de h dont le module est inférieur à t;.

Cela revient à dire que mod[/(v) — /(^o)] resle -<£ pour toutes les valeurs z dont i*affixe esta Tinlérieur d'un cercle, décrit de 5q comme centre avec t) pour rayon.

La fonction est continue dans une région du plan si elle est continue pour tous les points Zq dont Taffixe est dans celte région. Cette définition s'applique aux polynômes en 5, qui sont évidemment continus dans lout le plan.

La continuité de la série de puissances, /(:;), résulte aisément de V uniformité de la convergence.

On a, en effet, en désignant par n un entier, laissé provisoirement arbitraire,

d'où, en désignant par ^0 ^^ point quelconque intérieur au cercle de convergence,

/(^o-^^)— /(-o)=[?(-o H- /i)--?(-o )]-+-[ R«(-o -4-/0 — R/iC-So)]-

Prouvons maintenant que, étant donné e, on peut assigner t^ tel que, pour mod/K; "î^, le module du premier membre reste infect) On a

log-(^j =— logp + Iog/i — n(logR'— Iogp)= logn— A/i — B, ...

avec A > o, puisque p < R'. Or le terme — A/i l'emporte, pour n très grand, sur le terme log/i; le logarithme du produit considéré tend donc vers — so , et le produit lui-même tend vers zéro.

rieur à s; il suffira pour cela d'établir que, pour modA<C/i, l modules des deux quantités

tt (;;o-+- /*)— ?(-o) et R«(5o-+- /*)— Rii(^o)

restent inférieurs à -s.

Or : 1° en vertu de l'uniformité de la convergence, on peu" prendre n assez grand (et fonction de e seul) pour que l'on ait quel que soit le point z^ intérieur au cercle de convergence,

moaU„(^)< -.

En particulier, si l'on suppose successivement z = Zo et z =z Zo-\- h, on sera sûr que le point So-\- A est intérieur au cercle de convergence s'il reste à Tinlérieur du petit cercle décrit de ^0 comme centre et tangent au cercle de convergence (Jig- 4^)^

c'est-à-dire si modA reste inférieur à r^i, yii désignant le rayon de ce petit cercle. On aura alors, avec cette hypothèse,

(a) d'où

mo(lR;,(;;o) et modRrt(>3o-f- /i)< -, '

mo

pour toute valeur de A de module inférieur à r^.

2° ©(^), somme d'un nombre Jini de termeâ continus, est évidemment une fonction continue dans tout le cercle, et en particulier pour ^= -Sol donc, on peut trouver un nombre 7|2 tel que

mod[ff(zo-k- h) — 9(-3o)]< ->

pour toule valeur de A de module inférieur à r^2.