CHAPITRE V. — SÉRIES. l^'i

Soit alors v) la plus petite des quantités r^i et y^^) l^s inégalités ^a) et (fi) subsistent a fortiori pour toute valeur de h de module inférieur à r^ ; et la quantité y\ ayant pu être ainsi assignée, le théorème est établi, c'est-à-dire que la série /(s) est continue en tout point Zq, intérieur au cercle de convergence.

I 4o. Théorème IV. — Les séries (S'), (S"), . , . sont les déri- \'ées successives de (S), par rapport à la variable z^ pour toutes les valeurs de cette variable comprises dans le cercle de con- \ergence.

On a, en eRet, en représentant toujours la série parafe),

Je dis que Ton peut écrire le second membre, en développant les binômes et supprimant les parenthèses,

II suffit, pour rétablir, de prouver (corollaire 2°, n** 132) que cette nouvelle série (i) est absolument convergente, c'est-à-dire, en désignant par A^, p et t^ les modules de a,/, z et A, de démontrer la convergence de la série

ou encore (n** 129, 7**) de la série, où Ton a groupé les termes de la précédente,

< \) Ao -h Al C p -h rj "i- . . . -4- A,i ( p -+- rj" -+-

Cette série (3) converge si p -f-r^ est inférieur au rayon II du cercle de convergence, c'est-à-dire si vi est au plus égal à la plus courte distance du point z, de module p, à la circonférence de ce cercle. Si donc A est de module assez petit, la série (3) et, par suite, la série (2) convergent, et la série (i) est absolument convergente et représente y (:î -h h).

En vertu de la convergence absolue de celte série (1), on peut écrire, en changeant l'ordre des termes,

-f- termes ayant A* en facteur;

l44 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

d'où

el Ton voit que pour li^o la limile du premier membre, c'eslà-dire ce qu'on peut appeler la dérivée de la série imaginain

/(-c), est la série (S') (*). c. q. f. d.