III. — FONCTIONS EXPONENTIELLE ET CIRCULAIRES

liG. L'Algèbre élémentaire ne définit e^ que pour des valeurs réelles de x (^); on sait que

On définira e^^ pour des valeurs imaginaires de la variable :;, par la série de puissances

(' ) On donnera plus turd, dans le Calcul inlégral, une autre démonstration de ce lliéorcme.

(-) L'iinporlance du nombre e en Analyse a sa source dans le calcul connu que l'on fait pour trouver la dérivée de a-*. On a en effet

(«'•)'= lim a' (^-^~),

Si l'on pose a''— i = s, d'où h = log^(i -h e), il vient (a'')'= lima"" i ; = lima'

log.(i4-s)î Or, pour 8 = 0, (i-j- e)^ tend vers e, de sorte que

ï'^SaC

Si a = e, log^e = i, et par suite (e')'= e*.

C'est cette propriété d'être identique à sa dérivée qui constitue rimporlance

de la fonction exponentielle, et l'on voit que, à ce point de vue, e s'est présenté

comme la limite, pour s = o, de (i + e)s.